Un Tissot Indicatrix est une méthode utile pour communiquer en un coup d'œil les types de distorsion auxquels une projection donnée est sujette (dans la figure ci-dessous, chacun des cercles rouges occupe la même zone). On m'a dit que les méthodes populaires pour générer des TI ont leurs propres problèmes, au point d'être parfois terriblement inexactes.
Quel est le problème avec les méthodes populaires et quelle est la manière la plus correcte de générer un TI accessible à votre type SIG moyen (ette)?
coordinate-system
gis-principle
Matt Wilkie
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Réponses:
Tout logiciel capable de projeter des coordonnées avec précision peut calculer des indicatrices Tissot précises .
Une bonne source pour les formules est Snyder, John, Map Projections - A Working Manual , principalement aux pages 20-26. (Je ne les reproduirai pas ici car ce site ne dispose pas d'outils appropriés pour communiquer des formules mathématiques.) Ils nécessitent les quatre premières dérivées des coordonnées projetées (x, y) par rapport aux coordonnées sphériques (lat, lon) = (phi, lambda):
Tout le reste sur les TI est calculé en fonction de ceux-ci (en utilisant certaines fonctions arithmétiques et trigonométriques: le cosinus, le sinus inverse principal et la tangente inverse principale). Les calculs nécessitent une description de la forme de la terre. Pour la plus grande précision, utilisez une donnée ellipsoïdale d'axe semi-principal a et d'excentricité e. (Ceux-ci seront connus du logiciel.)
Le livre de Snyder contient des instructions sur la façon de tout calculer sauf ces dérivés. Faites-le numériquement. J'ai obtenu d'excellents résultats en utilisant des estimations de différences finies centrales de premier ordre à une distance de h = 10 ^ (- 5,2) radians (généralement autour de 50 mètres): c'est un bon compromis entre essayer de se rapprocher infinitésimalement et perdre trop de précision de arrondi en virgule flottante (en supposant une double précision), car l'erreur commise est proportionnelle à (10 ^ (- 5.2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10.4) et 10 ^ (- 5.2) est égal à 10 ^ 10.4 fois la précision de la double précision IEEE de 10 ^ (- 15,6) et il est encore beaucoup plus grand que la précision typique dans les projections, qui vont généralement de 10 ^ (- 10) à environ 10 ^ (- 14).
Alors, comment calculez-vous les estimations des différences finies? Cette partie est étonnamment facile. Pour obtenir dx / d (phi) en un point (phi, lambda), demandez à votre SIG de projeter les points
Utilisez les estimations
De même, projetez les points
et utiliser les estimations
Cela prend quatre projections et un tout petit peu d'arithmétique. (Vous pouvez le réduire à trois en utilisant des différences non centrales, mais la précision diminue un peu. Il est sage de viser une grande précision, sans laisser h trop petite, à moins que vous ne soyez sûr que votre SIG utilise une qualité d'enquête (millimètre) précision dans ses formules de projection.)
A partir de ces dérivés, ainsi que des formules de Snyder (en faisant attention aux modifications décrites en 4-19 et 4-21), vous pouvez obtenir les longueurs des axes du Tissot Indicatrix en (phi, lambda) et son orientation. Sur les cartes à l'échelle mondiale, le TI sera si petit qu'il sera invisible, donc la dernière chose à faire est de décider combien vous voulez redimensionner chaque TI. Je détermine le facteur d'échelle en déterminant la taille de la carte, en trouvant les tailles des TI typiques sur la carte et en les mettant à l'échelle de sorte que ces TI soient environ 6% aussi larges que la carte. C'est un bon début, de toute façon; Je laisse l'utilisateur ajuster la taille de la TI à partir de là. Bien sûr, vous redimensionnerez tous les TI du même montant, afin qu'ils puissent être comparés, et chacun sera redimensionné autour de son propre centre (qui est obtenu par une cinquième projection, (phi, lambda) -> (x, y) ).
Un bon ajout à la représentation elliptique du TI est de montrer les directions du méridien local et parallèle: puis, en un coup d'œil, vous pouvez évaluer la convergence de la grille . Je montre également un cercle standard (ne représentant aucune distorsion) concentrique avec chaque TI, car il améliore la capacité du lecteur à évaluer la quantité de distorsion représentée par chaque ellipse.
Dans cette projection de Mollweide, il convient de noter l'extrême TI près du pôle sud. C'est toujours une ellipse parfaite et décrit avec précision la distorsion de la carte là-bas.
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