Quelqu'un sait comment résoudre pour la MOC et MDD en utilisant une solution mathématique? Le livre indique que sa MOC est de 13% et son PDD de 2020. J'ai essayé d’utiliser et d’obtenir ses maxima mais loin de 13%$a+bx+cx^3$

La teneur en humidité optimale est définie comme la teneur en humidité pour laquelle vous obtenez un poids unitaire sec maximal. donc le taux d'humidité ( ) en fonction de la densité sèche ( ) et localisez le maximum.ρ $w$$\rho_d$

Sans aucune interpolation (c.-à-d. Si nous devons choisir une valeur dans votre tableau), cela se produit à humidité et correspond à une densité sèche de2001,27 k $12.3 \%$$2001.27 \frac {kg}{m^3}$

Cependant, si nous voulons interpoler, vous devez décider d'un ajustement. La relation peut être rangée comme quadratique, alors l’adaptation (voir image ci-dessous) donne

En résolvant la valeur maximale de la densité sèche, on obtient à humidité. 12,57$1919.67 \frac {kg}{m^3}$$12.57 \%$

Notez que vous avez un point mesuré supérieur au maximum interpolé. Cela signifie que vous pouvez soit mesurer plus de points (pour réduire l'incertitude), choisir un ajustement différent, etc. Mais c'est l'idée générale.

Une fois que vous avez ajusté la courbe, vous pouvez résoudre le problème de la densité sèche à n’importe quel taux d’humidité. Et plus important encore, vous savez où se situe l'optimum. Par conséquent, si les conditions de terrain sont trop sèches ou trop humides avant le compactage, vous pouvez les ajuster en conséquence, si nécessaire.

Une des choses qui m'a frappé à propos de cette question est que le livret de cours indique que la valeur maximale est supérieure aux résultats du test, à savoir:

Maximum from test:     2001.27 kg/m3
Maximum from booklet:  2020    kg/m3

Mis à part le fait qu'il est difficile de voir d'où vient cette valeur, si les tests échouent sur cette base, le contractant risque de subir des retards, ce qui peut conduire à une réclamation pour le projet - ou à tout le moins à une situation potentiellement embarrassante. arguments. Lorsqu'une valeur supérieure acceptée pour le travail de l'entrepreneur est effectivement mesurée en laboratoire, il doit exister une raison valable. Examinons donc cela en examinant les données à l'aide de méthodes d'ajustement de courbe communément acceptées.

Cet article contient le code et les données qui sous-tendent cette procédure (pour ceux qui pourraient l’estimer utile), mais d’autres voudront peut-être ignorer les images et les conclusions.

Fichier de données

En utilisant GnuPlot , nous examinons: (1) la régression linéaire à l'aide de formes quadratiques et (2) l'interpolation entre des points à l'aide de splines cubiques. Le fichier de données pour ce processus, points.txt , est le suivant:

X    Y         X    Y
8.4  1447.38   8.4  1447.38
10.2 1808.53   10.2 1808.53
12.3 2001.27   12.3 2001.27
14.6 1683.60   16.8 1524.81
16.8 1524.81

Les colonnes 1 et 2 sont les données fournies. Dans les colonnes 3 et 4, nous éliminons le point 4 en tant que valeur aberrante (ce n'est pas une valeur aberrante, mais aux fins de comparaison, considérons-le).

Fichier source GnuPlot

Le script gnuplot, density.gpl suit:

# gnuplot 4.6 patchlevel 4

# quadratic fit
f0(x) = a0*x**2+b0*x+c0
f1(x) = a1*x**2+b1*x+c1

# set formats
set output 'density.png'
set xlabel 'Moisture, %'
set ylabel 'Dry Density, kg/m3'
set yrange [1400:2200]
set key inside horizontal top right
set terminal pngcairo dashed # permits dashed lines
set terminal pngcairo size 640,480 enhanced font 'Verdana,10'

# pt 1 +, pt 2 X, pt 3 *, pt 4 box, pt 5 filled box, pt 6 circle, pt 7 filled circle
# lt 1 solid, 2 ---, 3 ..., 4 -.-, 5 -..-, 6 solid, 7 - - -  

# color styles (for display)
set style line 1 lt 1 lc rgb 'black'  lw 2 pt 7 ps 1.2 
set style line 2 lt 1 lc rgb 'red'    lw 2 pt 2 ps 1.2
set style line 3 lt 1 lc rgb 'blue'   lw 2 pt 4 ps 1.2
set style line 4 lt 1 lc rgb 'green'  lw 2 pt 6 ps 1.2
set style line 5 lt 1 lc rgb 'yellow' lw 2 pt 2 ps 1.2

# black styles (for printing)
set style line 10 lt 1 lc rgb 'black' lw 2 pt 7 ps 1.2 
set style line 20 lt 2 lc rgb 'black' lw 2 pt 2 ps 1.2
set style line 30 lt 4 lc rgb 'black' lw 2 pt 4 ps 1.2
set style line 40 lt 5 lc rgb 'black' lw 2 pt 6 ps 1.2
set style line 50 lt 7 lc rgb 'black' lw 2 pt 2 ps 1.2

# fit data to forms
fit f0(x) 'points.txt' using 1:2 via a0,b0,c0
fit f1(x) 'points.txt' using 3:4 via a1,b1,c1

# plot the results
plot f0(x) with lines ls 2 smooth bezier title 'Quadratic', \
     f1(x) with lines ls 3 smooth bezier title 'Quadratic w/o 4', \
     'points.txt' using 3:4 with lines ls 4 title 'Cubic Spline w/o 4' smooth csplines, \
     'points.txt' using 1:2 with lines ls 1 title 'Cubic Spline' smooth csplines, \
     'points.txt' using 1:2 with points ls 1 notitle

Courbes humidité-densité

Nous lançons ensuite gnuplot à partir de la ligne de commande (système d’exploitation Linux Debian), l’affiche avec l’ affichage du programme ImageMagick et capturons toute la sortie dans le fichier stats.txt :

gnuplot density.gpl &> stats.txt && display density.png &

L'ensemble de courbes de densité d'humidité obtenu est le suivant:

Statistiques de densité d'humidité

A partir de stats.txt , la régression linéaire de tous les points (colonnes 1 et 2) donne:

degrees of freedom    (FIT_NDF)                        : 2
rms of residuals      (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf)    : 121.785
variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf   : 14831.5

Final set of parameters            Asymptotic Standard Error
=======================            ==========================

a0              = -25.1676         +/- 7.493        (29.77%)
b0              = 633.079          +/- 189.8        (29.98%)
c0              = -2061.07         +/- 1147         (55.64%)

correlation matrix of the fit parameters:

                a0     b0     c0     
a0              1.000 
b0             -0.995  1.000 
c0              0.979 -0.994  1.000 

Ces coefficients sont identiques à ceux du message de CoryKramer. Maintenant, le meilleur choix pour les colonnes 3 et 4 (avec la soi-disant valeur aberrante, point 4, écartée) devient:

degrees of freedom    (FIT_NDF)                        : 1
rms of residuals      (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf)    : 4.71227
variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf   : 22.2055

Final set of parameters            Asymptotic Standard Error
=======================            ==========================

a1              = -29.4084         +/- 0.3123       (1.062%)
b1              = 750.537          +/- 8.016        (1.068%)
c1              = -2783.63         +/- 48.58        (1.745%)

correlation matrix of the fit parameters:

                a1     b1     c1     
a1              1.000 
b1             -0.996  1.000 
c1              0.982 -0.995  1.000 

Soit dit en passant, il y a peu de différence dans les coefficients de corrélation entre les deux ensembles de données, mais il y a une très grande différence dans l'erreur type des coefficients. Cela pourrait signifier soit qu'il existe une valeur aberrante, qu'il y a trop peu de points de données ou que le modèle mathématique n'est pas satisfaisant.

Conclusion

Il est clair que la valeur maximale indiquée de 2020 kg/m3n'est pas supportée par les données. À partir de l'inspection des tracés d'humidité-densité, les valeurs maximales des différentes méthodes d'ajustement de courbe ne dépassent pas la valeur de test mesurée, seule la position de la teneur en humidité optimale change. Il est également clair que si un différend devait surgir sur un projet de construction, le contractant aurait un cas légitime.

Enfin, quelle courbe est la plus appropriée? Eh bien, la méthode de test de Proctor confère une grande fiabilité à chaque point de données, en ce sens que l’erreur de la méthode de test devrait être minime. Pour cette raison, seulement 5 valeurs de test sont requises. Par conséquent, il est logique d'interpoler entre ces points. Mon vote serait donc d'utiliser l'approche par spline cubique, y compris tous les points, plutôt que d'utiliser le modèle de régression linéaire.