Quelle est la relation entre la pression et le débit d’une petite vanne dans un système de fluide?

L’exemple spécifique auquel je pense est un pneu de voiture présentant une petite fuite. Lorsque la pression augmente, le débit d'air augmente-t-il linéairement, c.-à-d. , ou a-t-il un comportement plus intéressant?$v\propto P$

Je pense que la meilleure (et la plus simple) façon de décrire quelque chose comme celle-ci est l'équation de Bernoulli.

$$P+\rho gh+\frac12 \rho v^2=constant$$

Pour utiliser cela, nous ne considérons que la vitesse instantanée, car au fur et à mesure que l'air fuit, la pression va baisser. Nous devrions également supposer que la "soupape" est en réalité plus un petit trou que tout ce qui fluctue trop avec les variations de pression, car cela le complique un peu plus.

La constante de l'équation de Bernoulli est appliquée à n'importe quel point d'un flux continu. Nous voulons donc choisir deux points, un de chaque côté du trou, et les relier à l'aide de l'équation de Bernoulli.

Ce que nous aurons ressemblera à quelque chose comme ça.

$$P_{tire}+\rho gh_0+\frac12 \rho v_0^2 =P_{atm} + \rho gh_1 +\frac12 \rho v_1^2$$

Dans cette situation, nous dirons que tout mouvement vertical de l'air est suffisamment petit pour être négligé. En outre, la vitesse de l'air à l'intérieur du pneu est également négligeable, sinon en pratique, que dans le cas de la détermination du rapport entre pression et vitesse. Enfin, il existe une distinction importante entre la pression absolue (qui se trouve dans les équations ci-dessus) et la pression manométrique (qui serait ce que nous mesurons avec un manomètre pour pneus [voir figure]). La pression manométrique est définie par . En rassemblant tout cela, nous obtenons ce qui suit.$P_{gage}=P_{abs}-P_{atm}$

$$P_{tire,gauge}=\frac12 \rho v_1^2$$

L’autre point important à souligner est qu’il est valable pour les écoulements non visqueux (sans frottement) à vitesse constante. La première hypothèse est assez valable, si les différences de pression sont significatives, la seconde peut ne pas l'être, surtout depuis que cela commence à faire monter la vitesse du fluide, et que la densité constante passe par la fenêtre lorsque nous arrivons à des écoulements compressibles ( ). Encore une fois cependant, pour le simple cas d’examen de la nature de la relation, cette évaluation devrait aller.$Ma>0.3$

Oui, la réponse est un peu plus intéressante.

Le débit massique ( ) variera en fonction de (coefficient de décharge, surface de la section transversale et variation de la pression dans la vanne). Sauf compression du fluide, la vitesse se comportera de la même manière.$\dot m$$C_d A \sqrt{2 \Delta P}$

Le diable de la chose est dans . C'est à peu près quelque chose que vous avez, mesurer expérimentalement ou (essayer de) modéliser numériquement avec la dynamique des fluides informatique. Ce petit nombre rend compte de tous les aspects non idéaux du flux impliqué (viscosité, turbulence). C'est toujours moins qu'un (rien n'est jamais idéal), donc une simple prédiction de Bernoulli sera toujours surestimée (juste une question de combien).$C_d$

En pratique, changera au fur et à mesure que vous ajustez la vanne (ainsi que sa surface). Ainsi, le fabricant ne vous communiquera généralement que quelques valeurs ou une courbe pour le débit en fonction de la position et de la pression de la vanne ou un coefficient de débit total en fonction de la position de la vanne ( dépendance supposée ).$C_d$$C_V$$\sqrt{\Delta P }$

Comme mentionné dans la réponse précédente, tout cela devient drôle si le flux devient compressible.