Quelle est l'interprétation physique du deuxième terme dans le tenseur de contrainte visqueuse dans les équations de Navier-Stokes?

Je cherche cette réponse depuis un certain temps. J'ai lu de nombreux textes et même regardé certaines conférences en ligne, mais souvent cela n'est jamais expliqué et simplement donné. Le terme de contrainte visqueuse dans les équations de Navier-Stokes ressemble à

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Maintenant, le terme est assez facile à comprendre car il ne s'agit que de diffusion de vitesse, mais j'ai du mal à trouver une interprétation physique du terme . Après avoir étendu ce terme, je me suis retrouvé avec $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

ce qui semble impliquer que cet effet n'est pas présent dans un champ de vitesse sans divergence, mais je ne peux toujours pas trouver ou trouver une intuition physique sur ce que ce terme signifie réellement. Quelqu'un comprend-il ce que ce terme représente physiquement?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics Adam O'Brien
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Addition: vous avez raison de dire que le terme est absent dans un flux incompressible. Il semble qu'il tienne compte de la diffusion de la quantité de mouvement due aux gradients de densité. Deux parcelles de fluide adjacentes peuvent avoir la même vitesse mais une dynamique différente, il n'y a pas de contrainte de cisaillement entre elles mais la dynamique se diffuse.

Dan

Cette question est sur le thème de l'ingénierie. J'ai supprimé plusieurs commentaires suggérant d'autres sites pour cette question. En partie à cause de la demande d'une compréhension appliquée de l'équation mais aussi parce que cela fait partie de la mécanique du continuum. N'oubliez pas qu'il est normal d' être un peu jaloux de votre site

Méta-discussion connexe

Le point sur la présence d'un gradient de moment en raison d'un gradient de densité non nul était bon. Merci à tous pour vos réponses!

Adam O'Brien

Réponses:

Vous ne devez pas séparer ces deux termes à la recherche d'une interprétation physique. Le terme est le tenseur du taux de déformation . Le flux de mouvement (ou stress) dû au fait que nous avons un fluide qui coule est expliqué par le terme entier . Dans l'équation NS, les deux termes peuvent être considérés comme des densités de force (force par unité de volume). Vous avez raison, le deuxième terme est nul pour les flux incompressibles (voir ici ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

MISE À JOUR: La dérivation complète du tenseur de vitesse de déformation est complexe et pourrait être hors de portée ici. Si vous êtes intéressé, j'ai trouvé qu'une bonne ressource est Introduction à la mécanique des fluides par Whitaker. Brièvement, admettons que le tenseur représente la vitesse de déformation et le solide comme le mouvement de rotation. Tout tenseur peut être décomposé de la manière suivante: $\nabla \vec{u}$

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$ Le premier terme est généralement appelé tenseur de vitesse de déformation, il est symétrique et il peut être démontré qu’il n’inclut aucun mouvement de rotation rigide. Le deuxième terme est généralement appelé tenseur de tourbillon, il est symétrique en biais, et il peut être démontré qu'il ne contribue pas au taux de déformation et qu'il représente un mouvement de rotation rigide comme.

Salomon Turgman
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C'est ce que j'ai trouvé en y regardant, mais j'essayais de trouver quelque chose comme une dérivation du tenseur de taux de déformation avant de m'engager sur une réponse, pour comprendre pourquoi il inclut la matrice régulière et transposée.

Trevor Archibald

Merci, je suis passé par la dérivation du tenseur de taux de déformation à partir de la géométrie comme vous l'avez suggéré, et cela m'a beaucoup aidé.

Adam O'Brien

Je suis d'accord avec @sturgman, il ne faut pas regarder les parties individuelles mais essayer de le comprendre dans son contexte.

En regardant la version très basique de l'équation de Navier-Stokes (en utilisant la notation Einstein ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

La partie sous-entretenue dans son original peut être réécrite.

\frac{\partial}{\partial X_{j}} (η [\frac{\partial u_{je}}{\partial X_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial X_{je}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{je}}{\partial X_{j} \partial X_{j}} + \frac{\partial}{\partial X_{je}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Qui conduit à:

ρ \frac{ré u_{je}}{ré t} = \underset{je}{\underset{⏟}{ρ k_{je}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial X_{je}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial X_{je}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial X_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{je}}{\partial X_{j} \partial X_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

En notation symbolique, cela devrait ressembler à ceci:

ρ \frac{ré \vec{u}}{ré t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

La partie n'est pas toujours montrée comme ceci selon la façon dont le tenseur de contrainte newtonien a été introduit. Étant donné que est une propriété fluide qui est très difficile à mesurer mais ne varie que peu, l' hypothèse de Stokes la fixe à (ce qui n'est techniquement vrai que pour les gaz monoatomiques). $\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

La partie décrit une caractéristique d'un fluide où la structure atomique de la molécule de fluide peut absorber de l'énergie, elle est parfois appelée pression-viscosité. Alors que la partie décrit la résistance de l'écoulement lorsqu'elle est cisaillée, la partie décrit la résistance d'un volume de fluide lorsqu'il est "isobariquement" expansé ou compressé. $\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

rul30
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Je suis désolé :-( Ce n'était pas mon intention.

peterh - Rétablir Monica le