Pouvez-vous utiliser l'équation de Hagen-Poiseuille pour un tuyau dont le rayon est dans la région submillimétrique?

Comme cela dépendra de la chute de pression $\Delta p$, supposons qu'il ne quitte pas la plage de 0 à 100 bar. L' équation de Hagen-Poiseuille pour un fluide incompressible est définie comme:

Je me rends compte qu'il ne sera pas applicable pour les très petits diamètres (nm), donc cette question est dans le contexte de la microfluidique. Les fluides d'intérêt dans ce cas ont une viscosité cinématique de 1 cSt à 10000 cSt.

Réponse courte: OUI vous pouvez.

Longue réponse:

A) Limites de la mécanique du continuum:

Le modèle du continuum de la dynamique des fluides n'est valable que jusqu'à ce que le fluide se comporte comme un milieu continu. Ceci est caractérisé par le nombre de Knudsen . Le numéro de Knudsen est donné par$Kn = \frac{\lambda}{l_s}$, où $\lambda$est le libre parcours moyen et$l_s$est la dimension caractéristique du canal (diamètre dans le cas du tuyau circulaire). Les effets de non-équilibre commencent à se produire si$Kn > 10^{-3}$. Les conditions aux limites de glissement modifiées peuvent être utilisées pour$10^{-3} < Kn < 10^{-1}$et le modèle de condinuum se casse complètement si $Kn > 1$. ( Fait amusant: parce que la distance entre deux véhicules sur une route encombrée est beaucoup plus petite que la partie droite de la route elle-même (échelle de longueur en$1d$), nous pouvons modéliser le flux de trafic avec un PDE ! Cependant, cela ne fonctionnera pas s'il n'y a qu'une seule voiture sur un long tronçon de route)

Pour en revenir à l'eau, comme les molécules d'eau ne se déplacent pas librement et sont liées de façon lâche, nous considérons l'espacement du réseau $\delta$ pour l'informatique $Kn$. Pour l'eau$\delta$ est à propos $3 nm$. La théorie du continuum sera donc valable pour un tube de diamètre,$300 nm$ ou plus $^*$. Maintenant, c'est une bonne nouvelle!

$^*$Référence: Flux de liquide dans les microcanaux

B) Applicabilité de l'équation de Hagen Poiseuille:

Étant donné que votre tube est dans la gamme des sous-millimètres, il est beaucoup plus grand que le diamètre minimum requis (sous-micromètre) pour l'équation de continuité. Cependant, en fonction de la forme de la section transversale du tube, les résultats seront différents ( Lien vers la réf. ). Les écoulements liquides sont beaucoup plus simples à analyser car ils sont caractérisés par un nombre et des vitesses de Reynold beaucoup plus petits. La densité reste également essentiellement constante. Il ne devrait donc pas y avoir de problème à considérer la théorie comme valide. Maintenant que l'écoulement de Hagen Poiseuille est dérivé des équations de Navier Stokes, il suit l'hypothèse de continuité.

Si votre écoulement passe par un milieu poreux, vous devrez peut-être considérer des effets comme l' effet électrocinétique . Il peut y avoir d'autres complications dans l'application directe des équations HP aux écoulements microfluidiques, mais je ne peux pas faire de commentaire car je ne sais pas grand-chose dans ce domaine.

C) Quelques exemples

Dans un rapport sur le «réseautage microfluidique» , Biral a utilisé la théorie du continuum pour la modélisation et la simulation (dans OpenFOAM) des écoulements microfluidiques.

Fillips discute davantage du nombre de Knudsen dans son article - Limites de l'aérodynamique du continuum.

Ce rapport mentionne clairement que l'équation HP est applicable même aux écoulements microfluidiques

Ce document sur le viscosimètre PDMS donne la dérivation de l'équation HP pour les écoulements microfluidiques.

Enfin, voici une vidéo YouTube discutant du formalisme matriciel pour résoudre la loi de Hagen-Poiseuille dans les circuits hydrauliques microfluidiques.

Sur la base de ces références, il devrait être sûr de supposer que l'équation HP peut être appliquée aux écoulements microfluidiques. Cependant, les experts sont invités à nous éclairer à cet égard.

À votre santé!