Comment convertir une expression de SOP en POS et revenir en algèbre booléenne?

9

Comment convertir une expression Sum of Products (SOP) en forme Product of Sums (POS) et vice versa en algèbre booléenne?

par exemple: F = xy '+ yz'

jskroch
la source
8
En fait, cela concerne beaucoup la logique numérique. Cela équivaut à dire comment changer un circuit qui consiste en un groupe de portes et alimentant une porte ou en un composé d'un groupe de portes ou alimentant une porte et.
Chris Stratton
1
Qu'est-ce que SOP et POS?
AndrejaKo
3
SOP = somme des produits. POS = produit des sommes, par exemple (x + y) (~ x + ~ y). "OU" logique est une somme, tandis que "ET" est un produit.
Eryk Sun
Cela est certainement enseigné dans les cours de logique numérique de premier cycle, mais tyblu a raison de dire que cela appartient en mathématiques SE. @TheLameProgrammer, recherchez les cartes de Karnaugh (cartes K) et le théorème de DeMorgan.
Eryk Sun
2
... utiliser les lois de DeMorgan? aussi, l'exemple fourni dans la question n'est pas un SOP canonique car toutes les variables doivent être présentes dans tous les termes, n'est-ce pas?
vicatcu

Réponses:

15

Je pense que le moyen le plus simple est de convertir en k-map, puis d'obtenir le POS. Dans votre exemple, vous avez:

  \ xy
 z \  00    01    11    10
    +-----+-----+-----+-----+
 0  |     |  x  |  x  |  x  |
    +-----+-----+-----+-----+
 1  |     |     |     |  x  |
    +-----+-----+-----+-----+

Dans ce cas, l'exclusion de la colonne de gauche donne (x + y) et l'exclusion des deux cases du milieu en bas donne (z '+ y'), donnant une réponse de (x + y) (z '+ y')

FryGuy
la source
Mais ce devrait être F = (x + y) (y '+ z').
Eryk Sun
Oups, vous avez raison. Cela fait un moment que je n'ai pas fait de k-maps donc je l'ai mal lu. J'ai fixé la réponse.
FryGuy
5

F = xy '+ yz' c'est sous forme SOP

Cela peut également être utilisé en utilisant des techniques d' algèbre booléenne simple comme:

Application de la loi distributive : - F = ( xy ') + y . z '

F = ( xy ' + y) . ( xy '+ z') qui est maintenant converti en forme POS .

Syed Fahad
la source
4

Une autre méthode consiste simplement à prendre le compliment de l'expression donnée:

Comme: xy '+ yz'

Prendre son compliment:
(xy '+ yz') '

= (xy ')'. (yz ')' {Utiliser la loi de De Morgans (a + b) '= a'.b'}

= (x '+ y) (y' + z)

Ce qui est aussi un formulaire POS ...!

Syed Fahad
la source
6
Cela donne un POS, mais c'est l'opposé complet de l'expression donnée.
Nirmal Seneviratne
2

Utilisez deux fois la loi de DeMorgan.

Appliquer la loi une fois:

F' = (xy' + yz')'
   = (xy')'(yz')'
   = (x'+y)(y'+z)
   = x'y' + x'z + yy' + yz
   = x'y' + x'z + yz

Appliquer à nouveau:

F=F''
 =(x'y'+x'z+yz)'
 =(x'y')'(x'z)'(yz)'
 =(x+y)(x+z')(y'+z')
 =(x+y)(y'+z')

Vérifiez la réponse en utilisant wolframalpha.com

xy '+ yz'

(x + y) (y '+ z')

Edit: La réponse peut être simplifiée une étape de plus par la loi de consensus de l' algèbre booléenne

wannik
la source
1

Si vous voulez vérifier votre travail après l'avoir fait à la main, vous pouvez utiliser un programme comme Logic Friday .

mjh2007
la source
1

C'est en termes minimum / somme de produits [SOP] et maximum / produit de sommes [POS], nous pouvons donc utiliser une carte de Karnaugh (carte K) pour cela.

Pour SOP, nous apparions 1 et écrivons l'équation d'appariement dans SOP alors que cela peut être converti en POS en y associant 0 et en écrivant l'équation sous forme POS.

xyzx+y+z

dipen
la source
0

Voir la procédure sous Forme normale conjonctive: conversion à partir d'une logique de premier ordre .

Cette procédure couvre le cas plus général de la logique du premier ordre, mais la logique propositionnelle est un sous-ensemble de la logique du premier ordre.

Simplifier en ignorant la logique du premier ordre, c'est:

  • Élimine les implications
  • Déplacez les négations vers l'intérieur en appliquant la loi de DeMorgan
  • Répartir les disjonctions sur les conjonctions

Évidemment, si votre entrée est déjà en DNF (aka SOP), alors évidemment les première et deuxième étapes ne s'appliquent pas.

Doug McClean
la source
0

Soit x = ab'c + bc '

x '= (ab'c + bc') '

Selon le théorème de DeMorgan, x '= (a' + b + c ') (b' + c)

x '= a'b' + a'c + bb '+ bc + c'b' + c'c

x '= a'b' + a'c + bc + c'b '

En utilisant à nouveau le théorème de DeMorgan, x = (a'b '+ a'c + bc + c'b') '

x = (a + b) (a + c ') (b' + c ') (c + b)

shivani singh
la source
Bienvenue sur Electrical Engineering StackExchange. Si vous fournissez une nouvelle réponse à une ancienne question, vous devez indiquer clairement ce que vous avez ajouté aux réponses précédentes ou ce qui était incorrect dans les réponses précédentes. Au fait, votre deuxième ligne n'est-elle pas sous forme de PDV? Le PO n'a pas demandé de réduire l'équation, de sorte que le reste de votre réponse pourrait prêter à confusion.
Joe Hass
C'est correct.
Nirmal Seneviratne