Relation et différence entre les transformations de Fourier, Laplace et Z

Je suis devenu un peu confus sur ces sujets. Ils ont tous commencé à se ressembler. Ils semblent avoir les mêmes propriétés, telles que la linéarité, le décalage et la mise à l'échelle, qui leur sont associés. Je n'arrive pas à les mettre séparément et à identifier le but de chaque transformation. De plus, lequel d’entre eux est utilisé pour l’analyse de fréquence?

Je ne trouvais pas (avec Google) de réponse complète à ce problème spécifique. Je souhaite les comparer sur la même page afin que je puisse avoir une certaine clarté.

Les transformées de Laplace et de Fourier sont des transformations continues (intégrales) de fonctions continues.

La transformation de Laplace mappe une fonction à une fonction de la variable complexe s , où .F ( s $f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Puisque la dérivée correspond à , la transformation de Laplace d'une équation différentielle linéaire est une équation algébrique. Ainsi, la transformation de Laplace est utile, entre autres, pour résoudre des équations différentielles linéaires. sF(s$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Si nous fixons la partie réelle de la variable complexe s à zéro, , le résultat est la transformée de Fourier qui est essentiellement la représentation du domaine fréquentiel de (notez que cela n’est vrai que si pour cette valeur de la formule permettant d'obtenir la transformation de Laplace de existe, c'est-à-dire qu'elle ne va pas à l'infini).F ( j ω $\sigma = 0$$F(j\omega)$σ f ( t $f(t)$$\sigma$$f(t)$

La transformée en Z est essentiellement une version discrète de la transformée de Laplace et peut donc être utile pour résoudre des équations aux différences , la version discrète des équations différentielles . La transformée en Z mappe une séquence à une fonction continue de la variable complexe .F ( z ) z = r e j $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Si nous fixons la magnitude de z à l'unité, , le résultat est la transformée de Fourier à temps discret (DTFT) qui est essentiellement la représentation du domaine fréquentiel de .F ( j Ω ) f [ n $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Les transformées de Laplace peuvent être considérées comme un super ensemble pour CTFT. Vous voyez, sur un ROC si les racines de la fonction de transfert sont sur l’axe imaginaire, c’est-à-dire que pour s = σ + jω, σ = 0, comme mentionné dans les commentaires précédents, le problème des transformations de Laplace est réduit à la transformée de Fourier en temps continu. Pour revenir un peu en arrière, il serait bon de savoir pourquoi les transformations de Laplace ont d'abord évolué avec les transformations de Fourier. Vous voyez, la convergence de la fonction (signal) est une condition obligatoire pour qu'une transformée de Fourier existe (absolument sommable), mais il existe également des signaux dans le monde physique où il n'est pas possible d'avoir de tels signaux convergents. Mais, puisque leur analyse est nécessaire, nous les faisons converger, en lui multipliant un e ^ σ exponentiel décroissant monotone, ce qui les fait converger par sa nature même. Ce nouveau σ + jω se voit attribuer un nouveau nom, «s», auquel nous substituons souvent le terme «jω» pour la réponse des signaux sinusoïdaux des systèmes LTI causaux. Dans le plan s, si le ROC d'une transformation de Laplace recouvre l'axe imaginaire, sa transformation de Fourier existera toujours, car le signal convergera. Ce sont ces signaux sur l’axe imaginaire qui comprennent des signaux périodiques e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (de Euler).

De la même manière, z-transform est une extension de DTFT pour, d’une part, les faire converger, d’autre part, pour rendre nos vies beaucoup plus faciles. Il est plus facile de traiter avec az que avec ae ^ jω (régler r, le rayon du cercle ROC est faible).

En outre, vous êtes plus susceptible d'utiliser une transformation de Fourier que Laplace pour des signaux non causaux, car les transformations de Laplace facilitent la vie beaucoup plus facilement lorsqu'elles sont utilisées en tant que transformations unilatérales (à un côté). Vous pouvez également les utiliser des deux côtés, le résultat sera le même avec certaines variations mathématiques.

Les transformées de Fourier sont destinées à convertir / représenter une fonction variant dans le temps dans le domaine fréquentiel.

Une transformation laplace sert à convertir / représenter une fonction variable dans le "domaine intégral"

Les transformées en Z sont très similaires à laplace mais sont des conversions discrètes en intervalles de temps, plus proches des implémentations numériques.

Ils semblent tous identiques car les méthodes de conversion utilisées sont très similaires.

Je vais essayer d’expliquer la différence entre la transformation de Laplace et celle de Fourier avec un exemple basé sur des circuits électriques. Supposons donc que nous avons un système décrit avec une équation différentielle connue, disons par exemple que nous avons un circuit RLC commun. Supposons également qu'un commutateur commun est utilisé pour activer ou désactiver le circuit. Maintenant, si nous voulons étudier le circuit dans l'état d'équilibre sinusoïdal, nous devons utiliser la transformée de Fourier. Sinon, si notre analyse inclut l'activation ou la désactivation du circuit, nous devons implémenter la transformation de Laplace pour les équations différentielles.

En d’autres termes, la transformation de Laplace est utilisée pour étudier l’évolution transitoire de la réponse du système de l’état initial à l’état stable sinusoïdal final. Cela inclut non seulement le phénomène transitoire à partir de l'état initial du système, mais également l'état stable final de la sinusoïde.

Différents outils pour différents emplois. À la fin du XVIe siècle, les astronomes commençaient à faire de mauvais calculs. Les logarithmes ont d'abord été calculés pour transformer la multiplication et la division en additions et soustractions plus faciles. De même, les transformations de Laplace et de Z transforment de mauvaises équations différentielles en équations algébriques que vous avez une chance de résoudre. Les séries de Fourier ont été inventées à l'origine pour résoudre le flux de chaleur dans les briques et autres équations aux dérivées partielles. L'application aux cordes vibrantes, aux tuyaux d'orgue et à l'analyse des séries chronologiques est venue plus tard.

Dans tout système LTI pour le calcul de la fonction de transfert, nous utilisons uniquement la transformation laplace au lieu de la transformation de Fourier ou de la transformation z, car dans Fourier, nous obtenons la sortie bornée; elle ne va pas à l'infini. Et la transformation z est utilisée pour les signaux discrets mais les systèmes LTI sont des signaux continus, nous ne pouvons donc pas utiliser la transformation z .. Par conséquent, en utilisant la transformation laplace, nous pouvons calculer la fonction de transfert de tout système LTI.