Une discontinuité fait qu'un signal a des composants sinusoïdaux infinis, mais une onde triangulaire est continue, je prenais un cours dans lequel un instructeur a dit que puisque l'onde triangulaire est continue, elle peut être représentée par un nombre fini de composantes sinusoïdales et a également montré une addition finie de fréquences multiples de sinusoïdes qui ont donné la forme d'une onde triangulaire pure.
Le seul problème que j'ai à l'esprit est que la dérivée d'une onde triangulaire n'est pas continue car c'est une onde carrée et aurait donc besoin d'une somme infinie de sinusoïdes donc si l'on dérive les deux côtés de la formule de la série de Fourier d'une onde triangulaire , nous obtiendrions une onde carrée présentée comme une somme d'un nombre fini de sinusoïdes. Cela ne serait-il pas incorrect?
Réponses:
Citation d' ici : -
La variation discontinue de la pente signifie également une gamme infinie de composants sinusoïdaux.
Par exemple, si vous intégrez dans le temps une onde carrée, vous produisez une onde triangulaire mais, toutes les harmoniques de l'onde carrée d'origine sont toujours présentes après l'intégration temporelle: -
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Soit vous n'avez pas bien compris, soit l'instructeur a mal parlé. Il ne suffit pas que le signal lui-même soit continu, mais toutes les dérivées doivent l'être également. S'il y a une discontinuité dans une dérivée, alors le signal répétitif aura une série infinie d'harmoniques.
Un triangle est continu, mais sa première dérivée est une onde carrée, qui n'est pas continue. Une onde triangulaire a donc une série infinie d'harmoniques.
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Preuve mathématique:
Prenez une fonction composée de la somme pondérée d'une série finie de composantes sinus / cosinus.
Sa dérivée est également une somme pondérée d'une série finie de composants sinus / cosinus. Idem si vous dérivez un certain nombre de fois.
Puisque le sinus et le cosinus sont continus, la fonction et toutes ses dérivées sont continues.
Ainsi, une fonction ayant une discontinuité dans l'un de ses dérivés ne peut pas être construite avec une série finie de composants sinus / cosinus.
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Les bonnes réponses abondent ici, mais cela dépend vraiment de votre interprétation de "peut être représenté par" .
Il faut comprendre qu'une onde triangulaire est une construction mathématique théorique qui ne peut pas réellement exister dans la réalité.
Mathématiquement parlant, pour obtenir une onde triangulaire pure, vous auriez besoin d'un nombre infini d'ondes sinusoïdales harmoniques, mais pour obtenir une représentation d'une onde triangulaire, la plupart de ces composants sont trop petits pour avoir de l'importance, perdez-vous dans le bruit de fond du système ou sont d'une fréquence si élevée qu'ils ne peuvent plus être transmis.
En tant que tel, dans la pratique, vous n'avez besoin que d'un nombre fini pour obtenir une représentation utilisable. La qualité de cette représentation dicte le nombre d'harmoniques à utiliser.
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Une autre approche.
Appelons x (t) l'onde triangulaire et y (t) sa dérivée, qui est une onde carrée, donc discontinue.
Si x (t) était une somme finie de signaux sinusoïdaux, sa dérivée, par la linéarité de cette opération, serait une somme finie de dérivés de signaux sinusoïdaux, c'est-à-dire encore une somme finie de signaux sinusoïdaux.
Mais ce dernier signal ne peut pas être l'onde carrée y (t), car une somme finie de signaux sinusoïdaux est continue. Nous avons donc une contradiction.
Par conséquent, x (t) doit avoir des composants de Fourier infinis.
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Je propose un test beaucoup plus simple à utiliser en pratique. Si l'onde a des angles vifs, elle nécessite des composants sinusiodaux infinis pour se construire.
Pourquoi? Parce qu'une série finie de sinusiodes ne peut pas faire un coin pointu. Ceci est prouvé par induction sur la règle de décomposition des sommes (c'est-à-dire Σ (a + b) = Σ a + Σ b pour toutes les sommations finies et toutes les sommations infinies convergentes inconditionnellement).
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L'ensemble des fonctions exprimables par une série de Fourier finie sont:
Pour tous les ensembles finis d'indices N . Différenciation terme à terme montre que le dérivé est (1) en continu et (2) également en F . Étant donné que le dérivé de l'onde triangulaire est pas continue, la fonction de l'onde triangulaire se trouve pas dans F .
Cette preuve est basé sur la discontinuité, mais la plupart des fonctions continues ne pas non plus appartiennent à F . Puisqu'aucune fonction polynomiale ou exponentielle ne peut être exprimée comme une somme finie de sinus et cosinus, les seuls membres de F sont ceux écrits explicitement dans le formulaire ci-dessus.
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