Comment la théorie du contrôle s'applique-t-elle à mon convertisseur boost piloté par un processeur réel?

J'ai une compréhension limitée de la théorie du contrôle. Je m'occupais des pôles et des zéros et des fonctions de transfert à l'école. J'ai implémenté plusieurs schémas de contrôle basés sur microprocesseur pour les convertisseurs DC / DC. Comment ces deux choses sont liées l'une à l'autre, je n'ai pas encore compris, et j'aimerais bien. Baser les conceptions sur les essais et les erreurs peut fonctionner, mais je préfère avoir une compréhension plus approfondie de ce que je fais et des conséquences.

Les réponses devraient se concentrer sur la façon d' analyser le système, pas sur la façon de l' améliorer . Cela dit, si vous avez des suggestions pour améliorer le système et souhaitez en donner une raison analytique, ce serait fantastique! Tant que l'amélioration est secondaire à l'analyse.

Mon exemple de système aux fins de cette question:

• C1: 1000uF
• C2: 500uF
• L1: 500 uH
• Fréquence de commutation: 4 kHz
• R1: variable
• Tension d'entrée: 400 volts
• Objectif de tension de sortie: 500 volts
• Limite de courant de sortie: 20 ampères

J'essaie de réguler la tension de sortie, sans dépasser une limite de courant de sortie. J'ai une détection de tension et de courant, qui passe par différentes étapes d'amplification que je n'analyse pas à ce stade, mais qui inclut un certain filtrage. Il est suivi d'un filtre passe-bas RC de 100 ohms et de 1000 pF directement sur le convertisseur A / N. Les échantillons A / N à 12 kHz. Cette valeur passe par un filtre à moyenne mobile IIR unipolaire des 64 derniers échantillons.

Après cela, j'ai deux boucles PI. Tout d'abord, la boucle de tension. Ce qui suit est un pseudocode, avec des valeurs mises à l'échelle en volts, mA et nanosecondes. Supposons que la vérification des limites est correctement implémentée ailleurs. La structure de ces boucles définit P en termes de statisme maximum autorisé s'il n'y a pas de terme intégral, puis définit le terme intégral de telle sorte qu'un intégrateur max'd out puisse compenser exactement ce statisme. Les constantes INTEGRAL_SPEED déterminent la vitesse de spoule des intégrateurs. (Cela me semble être un moyen raisonnable de s'assurer que P et I gagnent toujours un équilibre correct quelle que soit la façon dont je règle mes constantes, mais je suis ouvert à d'autres suggestions.)

#DEFINE VOLTAGE_DROOP 25
#DEFINE VOLTAGE_SETPOINT 500
#DEFINE MAX_CURRENT_SETPOINT 20000

voltage_error = VOLTAGE_SETPOINT - VOLTAGE_FEEDBACK
current_setpoint = MAX_CURRENT_SETPOINT * voltage_error/VOLTAGE_DROOP

#define VOLTAGE_INTEGRAL_SPEED 4
voltage_integral += voltage_error/VOLTAGE_INTEGRAL_SPEED
//insert bounds check here
current_setpoint += VOLTAGE_DROOP * voltage_integral/MAX_VOLTAGE_INTEGRAL

#DEFINE CURRENT_DROOP 1000
#DEFINE MAX_ON_TIME 50000

current_error = current_setpoint - current_feedback
pwm_on_time = MAX_ON_TIME * current_error/CURRENT_DROOP

#define CURRENT_INTEGRAL_SPEED 4
current_integral += current_error/CURRENT_INTEGRAL_SPEED
//insert bounds check here
pwm_on_time += CURRENT_DROOP * current_integral/MAX_CURRENT_INTEGRAL

J'ai donc un convertisseur boost avec deux condensateurs, un starter, une charge variable (qui pourrait être une fonction pas à pas), un retour avec des filtres RC unipolaires, un convertisseur A / N, des filtres numériques IIR unipolaires et deux boucles PI se nourrir mutuellement. Comment analyser une telle chose du point de vue de la théorie du contrôle (pôles, zéros, fonctions de transfert, etc.), en particulier pour sélectionner correctement mes paramètres de boucle de contrôle?

La plupart de ce qui est couvert dans l'étude des contrôles de base concerne les systèmes invariants temporels linéaires. Si vous êtes chanceux, vous pouvez également obtenir un échantillonnage discret et des transformations z à la fin. Bien sûr, les alimentations à découpage (SMPS) sont des systèmes qui évoluent de manière discontinue dans le temps dans le temps, et qui ont également pour la plupart des réponses non linéaires. En conséquence, les SMPS ne sont pas bien analysés par la théorie de contrôle linéaire standard ou de base.

D'une manière ou d'une autre, afin de continuer à utiliser tous les outils familiers et bien compris de la théorie du contrôle; comme les diagrammes de Bode, les diagrammes de Nichols, etc., quelque chose doit être fait concernant l'invariance temporelle et la non-linéarité. Jetez un œil à la façon dont l'état SMPS évolue avec le temps. Voici les états topologiques du Boost SMPS:

Chacune de ces topologies distinctes est facile à analyser en tant que système invariant dans le temps. Mais, chacune des analyses prises séparément n'est pas très utile. Que faire?

Alors que les états topologiques passent brusquement de l'un à l'autre, il y a des quantités ou des variables qui sont continues à travers la frontière de commutation. Celles-ci sont généralement appelées variables d'état. Les exemples les plus courants sont le courant d'inductance et la tension du condensateur. Pourquoi ne pas écrire des équations basées sur les variables d'état pour chaque état topologique et prendre une sorte de moyenne des équations d'état en combinant comme une somme pondérée pour obtenir un modèle invariant dans le temps? Ce n'est pas exactement une nouvelle idée.

Moyennage de l'espace d'état - Moyenne de l'état de l'extérieur dans

Dans les années 70, Middlebrook 1 à Caltech a publié le document fondateur sur la moyenne de l'espace d'état pour SMPS. L'article détaille la combinaison et la moyenne des états topologiques pour modéliser la réponse en basse fréquence. Le modèle de Middlebrook a fait la moyenne des états dans le temps, ce qui pour le contrôle PWM à fréquence fixe se résume à la pondération du cycle de service (DC). Commençons par les bases, en utilisant le circuit de suralimentation fonctionnant en mode de conduction continue (CCM) comme exemple. Le rapport cyclique d'état de l'interrupteur actif relie la tension de sortie à la tension d'entrée comme suit:

$V_o$$\frac{V_{\text{in}}}{1-\text{DC}}$

Les équations pour chacun des deux états et leurs combinaisons moyennes sont:

$\begin {array} {cccc} &\text {Active State} &\text {Passive State} &\text {Ave State} \\ \text {State Var $\backslash $ Weight} &\text {DC} &\text {(1 - DC)} & \\ \frac {\text {di} _L} {\text {dt}} &\frac {V_ {\text {in}}} {L} &\frac {-V_C + V_ {\text {in}}} {L} &\frac {(-1 + \text {DC}) V_C + V_ {\text {in}}} {L} \\ \frac {\text {dV} _C} {\text {dt}} & - \frac {V_C} {C R} &\frac {i_L} {C} - \frac {V_C} {C R} &\frac {(R - \text {DC} R) i_L - V_C} {C R} \end {array}$

Ok, cela prend soin de faire la moyenne des états, résultant en un modèle invariant dans le temps. Maintenant, pour un modèle linéarisé (ac) utile, un terme de perturbation doit être ajouté au paramètre de contrôle DC et à chaque variable d'état. Cela se traduira par un terme d'état stable additionné d'un terme de twiddle.

$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}$
$i_L\rightarrow I_{\text{Lo}} + i_L$
$V_c\rightarrow V_{\text{co}} + v_c$
$V_{\text{in}}\rightarrow V_{\text{ino}} + v_{\text{in}}$

Remplacez-les par les équations moyennes. Puisqu'il s'agit d'un modèle à courant alternatif linéaire, vous voulez juste les produits variables du premier ordre, alors jetez tous les produits de deux termes d'état stationnaire ou de deux termes twiddle.

$\frac{d v_c}{\text{dt}}$$\frac{\left(1-\text{DC}_o\right) i_L-I_{\text{Lo}} d_{\text{ac}}}{C} -\frac{v_c}{C R}$
$\frac{d i_L}{\text{dt}}$$\frac{d_{\text{ac}} V_{\text{co}}+v_c \left(\text{DC}_o-1\right)+v_{\text{in}}}{L}$

$\frac{d}{\text{dt}}$$\text{j$\omega $}$$v_c$$d_{\text{ac}}$

$\frac{v_c}{d_{\text{ac}}}$$\frac{-V_{\text{co}} \text{DC}_o+V_{\text{co}}-L I_{\text{Lo}} s}{C L s^2+\text{DC}_o^2-2 \text{DC}_o+\frac{L s}{R}+1}$

$f_{\text{rhpz}}$$f_{\text{cp}}$

$f_ {\text {rhpz}}$$\frac{V_{\text{co}} \left(1-\text{DC}_o\right){}^2}{2 \pi L i_o}$

$f_{\text{cp}}$$\frac{1-\text{DC}_o}{2 \pi \sqrt{L C}}$

$f_ {\text {rhpz}}$$f_{\text{cp}}$

Les graphiques de gain et de phase montrent les pôles complexes et le demi-plan droit zéro. Q des pôles est si élevé car les ESR de L1 et C2 n'ont pas été inclus. Pour ajouter des éléments de modèle supplémentaires maintenant, il faudrait revenir en arrière et les ajouter dans les équations différentielles de départ.

Je pourrais m'arrêter ici. Si je le faisais, vous auriez les connaissances d'un technologue de pointe ... à partir de 1973. La guerre du Vietnam serait finie, et vous pourriez arrêter de transpirer ce ridicule numéro de loto de service sélectif que vous aviez. D'un autre côté, les chemises en nylon brillant et la discothèque seraient chaudes. Mieux vaut continuer à bouger.

PWM Averaged Switch Model - État de la moyenne de l'intérieur vers l'extérieur

À la fin des années 80, Vorperian (un ancien élève de Middlebrook) avait un énorme aperçu de la moyenne de l'état. Il a réalisé que ce qui change vraiment au cours d'un cycle, c'est la condition de commutation. Il s'avère que la modélisation de la dynamique du convertisseur est beaucoup plus flexible et simple lors de la moyenne du commutateur que lors de la moyenne des états du circuit.

Après Vorperian 2 , nous élaborons un modèle de commutateur PWM moyen pour le boost CCM. À partir du point de vue d'une paire de commutateurs canoniques (commutateurs actifs et passifs ensemble) avec des nœuds d'entrée-sortie pour le commutateur actif (a), le commutateur passif (p) et le commun des deux (c). Si vous vous référez à la figure des 3 états du régulateur de suralimentation dans le modèle d'espace d'état, vous verrez qu'une boîte est dessinée autour des commutateurs qui montrent cette connexion du modèle moyen PWM.

$V_{\text{ap}}$$V_{\text{cp}}$$i_a$$i_c$

$V_{\text{ap}}$$\frac{V_{\text{cp}}}{\text{DC}}$

et

$i_a$$i_c$

Ajoutez ensuite la perturbation

$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}$
$i_a\rightarrow I_a + i_a$
$i_c\rightarrow I_c + i_c$
$V_{\text{ap}}\rightarrow V_{\text{ap}} + v_{\text{ap}}$
$V_{\text{cp}}\rightarrow V_{\text{cp}} + v_{\text{cp}}$

donc,

$v_{\text{ap}}$$\frac{v_{\text{cp}}}{\text{DC}_o}$$\frac{d_{\text{ac}} V_{\text{ap}}}{\text{DC}_o}$

et,

$i_a$$i_c \text{DC}_o + i_c d_{\text{ac}}$

Ces équations peuvent être regroupées dans un circuit équivalent adapté à une utilisation avec SPICE. Les termes avec le courant continu en régime permanent combinés à de petites tensions ou courants alternatifs de signal sont fonctionnellement équivalents à un transformateur idéal. Les autres termes peuvent être modélisés comme des sources dépendantes mises à l'échelle. Voici un modèle AC du régulateur de suralimentation avec un interrupteur PWM moyenné:

Les tracés de Bode du modèle de commutateur PWM sont très similaires au modèle d'espace d'état, mais pas tout à fait les mêmes. La différence est due à l'ajout d'ESR pour L1 (0,01 Ohms) et C2 (0,13 Ohms). Cela signifie une perte d'environ 10 W en L1 et une ondulation de sortie d'environ 5 Vpp. Ainsi, le Q de la paire de pôles complexes est inférieur et le rhpz est difficile à voir car sa réponse en phase est couverte par le zéro ESR de C2.

Le modèle de commutateur PWM est un concept intuitif très puissant:

• Le commutateur PWM, dérivé de Vorperian, est canonique. Cela signifie que le modèle présenté ici peut être utilisé avec des topologies boost, buck ou boost-buck tant qu'elles sont CCM. Il vous suffit de changer les connexions pour qu'elles correspondent à p avec un commutateur passif, a à un commutateur actif et c à la connexion entre les deux. Si vous voulez DCM, vous aurez besoin d'un modèle différent ... et c'est plus compliqué que le modèle CCM ... vous ne pouvez pas tout avoir.

• Si vous devez ajouter quelque chose au circuit comme ESR, il n'est pas nécessaire de revenir aux équations d'entrée et de recommencer.

• Il est facile à utiliser avec SPICE.

• Les modèles de commutateurs PWM sont largement couverts. Il y a un article accessible dans "Comprendre les niveaux de puissance de suralimentation dans les alimentations à découpage" d'Everett Rogers (SLVA061).

$f_s$$T_s$$T_s$

Vous êtes maintenant dans les années 1990. Les téléphones portables pèsent moins d'une livre, il y a un PC sur chaque bureau, SPICE est tellement omniprésent que c'est un verbe et les virus informatiques sont une chose. L'avenir commence ici.

1 GW Wester et RD Middlebrook, «Caractérisation à basse fréquence des convertisseurs CC - CC commutés», IEEE Transactions an Aerospace and Electronic Systems, vol. AES - 9, p. 376 - 385, mai 1973.

2 V. Vorperian, "Analyse simplifiée des convertisseurs PWM utilisant le modèle du commutateur PWM: parties I et II", Transactions IEEE sur les systèmes aérospatiaux et électroniques, vol. AES - 26, p. 490 - 505, mai 1990.

Une simplification grossière de la théorie du contrôle:

Fondamentalement, vous devez commencer par un modèle. Il est assez facile de modéliser le convertisseur physique que vous analysez. Il existe des modèles mathématiques qui reproduisent le comportement électrique du convertisseur élévateur avec une grande précision.

Ce qui devient délicat, c'est la modélisation de votre système de contrôle. Un outil qui me vient à l'esprit est PSIM , qui vous permet de modéliser de nombreux paramètres numériques sous forme de blocs discrets (quantification, conversion A / N, filtre IIR, retards, etc.) - cela vous donne un bac à sable facile à jouer sans risquer de matériel .

L'étape suivante consiste à analyser la «plante» du contrôle à la sortie, pour comprendre exactement ce que vous essayez de compenser. Cela se fait généralement en boucle ouverte, en définissant un point de fonctionnement CC (pas de rétroaction), en injectant des perturbations sur une gamme de fréquences et en mesurant les réponses.

Une fois que vous avez obtenu votre réponse en boucle ouverte, vous pouvez concevoir un compensateur qui garantira des marges de fonctionnement suffisantes pour la stabilité (marge de phase suffisante au passage du gain zéro, atténuation suffisante à 180 degrés de phase). Ensuite, vous implémentez votre contrôleur sous forme de bloc (ou de pseudocode) dans la simulation et testez la réponse en boucle fermée.

L'utilisation d'un outil de simulation serait utile, mais l'essentiel du circuit est que vous transférez de l'énergie 4000 fois par seconde et que la puissance vers la charge est ce transfert d'énergie multiplié par le nombre de fois par seconde que l'énergie est transférée.

$\frac{L I^2}{2}$$\sqrt{\frac{2}{500 \times 10^{-6}}}$

Lorsque l'IGBT passe en circuit ouvert, cette énergie est libérée via la diode S1 dans le circuit de charge.

$E = L \frac{di}{dt}$

$\frac{500 \times 10^{-6}\times 63}{400}=79\mu s$

Si la résistance de charge était plus petite, vous devez transférer plus de puissance et le courant de crête dans l'inductance serait plus élevé, ce qui signifie bien sûr une période plus longue pendant laquelle l'IGBT reste allumé.

$\mu s$$\mu s$$\frac{dq}{dt} = C \frac{dv}{dt}$

$\frac{dq}{dt} =$$\frac{dv}{dt} =$