Modélisation mathématique d'un circuit RC avec une entrée linéaire

J'ai trouvé de nombreux documents et livres qui modélisent le comportement de la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit RC transitoire, en utilisant l'équation suivante:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Malheureusement, je n'ai trouvé aucune ressource qui explique comment modéliser mathématiquement un circuit RC, ne serait-ce qu'une pour fournir une source de tension à augmentation linéaire en entrée.

Tenter de remplacer VMAX dans l'équation ci-dessus, pour une équation linéaire, entraîne une équation qui converge vers l'équation linéaire, ce qui signifie que le courant cesserait après un certain temps (I = (VS-VC) / R). C'est évidemment faux, car nous devrions voir l'approche actuelle une valeur constante avec le temps, comme indiqué par:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Je sais parfaitement comment la tension aux bornes d'un condensateur se comporterait avec une source de tension qui augmente linéairement, il existe de nombreux simulateurs qui affichent cela, et je peux même penser à une explication physique des résultats. Ce que je veux savoir, c'est comment on pourrait modéliser mathématiquement la tension aux bornes d'un condensateur avec une source de tension augmentant linéairement, d'une manière similaire à l'équation qui modélise la tension aux bornes d'un condensateur en transitoires.

Malheureusement, je n'ai trouvé aucune ressource qui explique comment modéliser mathématiquement un circuit RC, ne serait-ce qu'une pour fournir une source de tension à augmentation linéaire en entrée.

Cette réponse consiste à convertir le circuit en une fonction de transfert dans le domaine fréquentiel, puis à multiplier ce TF par la transformée de Laplace de l'entrée pour obtenir l'équivalent dans le domaine fréquentiel de la sortie. Enfin, une opération inverse de Laplace est effectuée pour obtenir la formule de domaine temporel pour la sortie.

La transformée de Laplace d'un filtre RC passe-bas est: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Il s'agit de la fonction de transfert du domaine fréquentiel, donc si vous multipliez cela par l'équivalent du domaine fréquentiel d'une rampe ($\dfrac{1}{s^2}$) vous obtenez la sortie du domaine fréquentiel: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

En utilisant une table de transfert inverse laplace, cela a une sortie de domaine temporel de: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Voir l'élément 32 sur le tableau ou, si la formule n'avait pas d'entrée de tableau évidente, vous pouvez utiliser une calculatrice de Laplace inverse qui le résout numériquement comme celui-ci .

La calculatrice vous permet de créer la formule et d'entrer une valeur numérique pour RC. J'ai utilisé une valeur RC 7 dans l'exemple ci-dessus afin que je puisse voir comment ce nombre s'est propagé à la réponse finale. Le dernier obstacle consiste à remplacer cette valeur propagée de 7 par RC. En d'autres termes c'est un solveur numérique mais néanmoins un outil très utile à avoir sous la main: -

Pour un signal d'entrée général et un système de premier ordre, vous pouvez résoudre l'équation différentielle via le facteur d'intégration, $\small (IF)$, méthode * ou la transformation de Laplace, entre autres. L'analyse ci-dessous utilise le$\small IF$ méthode.

$^*$Voir modifier, ci-dessous, pour une explication de la méthode du facteur d'intégration .

Étant donné le circuit que vous décrivez, l'équation de boucle est:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Différencier:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Réorganisation:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

En notant que $\small \tau=RC$:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Dans votre cas particulier, $v_i$ est une rampe, donc: $v_i= \small Kt$, where $\small K$ is the slope of the ramp.

Hence $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$, and the equation to be solved by the $\small IF$ method is:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

The $\small IF$ is:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Therefore:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Assuming initial conditions are zero, $\small A=-KC$, hence:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

and

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

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Edit: Solving 1st order ordinary differential equations (ODE) by the Integrating Factor ($\small IF$) method:

For the ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$, where $\small P$ and $\small Q$ are functions of $\small t$ (which may be constants), we follow the steps:

1. Determine the integrating factor: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. The general solution is then found by solving: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$, where $\small A$ is an arbitrary constant.

3. Determine $\small A$ from the initial condition or a boundary condition, if known.

For example, the ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$, with $\small y(0)=5$

Solution: we identify $\small P=2,\:Q=3$

Therefore

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Hence

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Dividing through by $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Applying the initial condition:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; hence $\small A=3.5$

Giving: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

May as well add another approach based upon Chu's recommendation:

The standard form for a first order linear differential equation is:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

If you can set things up like that, then your integrating factor (which is a nifty way to solve these) is:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Then then the solution is:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Suppose the following circuit:

^{simulate this circuit – Schematic created using CircuitLab}

Then from nodal, you get:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Which is in standard form, now.

So, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ and $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$. Thus, the integrating factor is: $\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ and:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple $V_s\left(t\right)$. (Don't forget your constant of integration.)

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.