Pourquoi un circuit RC ne change-t-il pas la forme d'un sinus d'entrée?

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Dans l'image ci-dessus, l'onde carrée rouge est l'entrée et l'onde bleue est la sortie d'un circuit RC. Je ne parviens pas à comprendre pourquoi j'obtiens une onde sinusoïdale parfaite lorsque j'alimente une onde sinusoïdale en entrée. Le condensateur doit prendre un certain temps pour se charger et se décharger. Mon intuition crie donc que la sortie est une onde périodique dont la période est la moitié de l'entrée. Quelqu'un pourrait-il clarifier cela pour moi? Merci!


Dans le domaine temporel, ne devrait-il pas faire quelque chose comme ça?
À t = 0, le condensateur a 0 tension. Comme la tension d'entrée est élevée, le condensateur continue de se charger et rencontre l'onde sinusoïdale d'entrée lors de sa chute.

Ensuite, la tension d'entrée devient inférieure à la tension du condensateur, de sorte que le condensateur commence à se décharger et rencontre à nouveau l'onde sinusoïdale d'entrée lorsqu'il augmente.

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Hiiii
la source
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L'onde sin est une forme d'onde très spéciale. Le courant du condensateur est proportionnel au taux de variation de la tension d'entrée. Dans la ligue mathématique, nous pouvons dire que le courant du condensateur est la dérivée de la tension aux bornes du condensateur par rapport au temps . Et par "accident" la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus (onde sinusoïdale à déphasage). je=CVt
G36
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Je dirais que @ G36 a réussi. La sortie est déformée. Mais la forme d'onde déformée se trouve avoir la même forme d'entrée, seulement plus petite et avec un déphasage. De plus, vous pouvez voir comment la "distorsion" s'accumule si vous alimentez un "sinus" à partir de t = 0 (en fait, un sinus n'est un sinus que s'il a commencé à l'être il y a un temps infini). Vous verrez que la sortie est fortement déformée (a une forme différente) jusqu'à ce que, lorsque l'état stationnaire est atteint, elle se transforme en un sinus décalé.
Sredni Vashtar
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... et, en passant, tout cela se ressemble au fait que la fonction exponentielle est auto-similaire (elle se ressemble, peu importe la façon dont vous vous traduisez dans le temps). Il a également un dérivé qui lui ressemble exactement, donc lorsque vous ajoutez l'identité d'Euler, vous voyez pourquoi les sinus et les cosinus sont si spéciaux.
Sredni Vashtar
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Le circuit est un système linéaire et la réponse en régime permanent à une sinusoïde d'entrée sera une autre sinusoïde à la même fréquence que l'entrée. Remarque, l'état stationnaire signifie la région de l'axe du temps où la partie exponentielle réelle de la réponse complète est tombée à zéro.
Chu
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Si vous avez les bons outils dans le domaine temporel, c'est encore plus simple. Le sinus, ou plus généralement toute fonction cisoïde (c'est-à-dire ) sont des vecteurs propres de tout système LTI. C'est tout. y=e(σ+jω)t
carloc

Réponses:

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Apprenez à penser dans l'espace des fréquences. C'est une de ces choses qui est difficile à voir dans le domaine temporel, mais qui tombe bien dans le domaine fréquentiel.

Une onde sinusoïdale est une seule fréquence "pure". Un filtre RC est un système linéaire qui ne peut pas se déformer, ce qui signifie qu'il ne peut pas créer de fréquences dans la sortie qui ne sont pas dans l'entrée. Lorsque vous ne mettez qu'une seule fréquence, la sortie ne peut contenir que cette seule fréquence. Les seules questions sont de savoir quelle sera l'amplitude relative et le déphasage de l'entrée à la sortie.

La raison pour laquelle une onde carrée n'entraîne pas une onde carrée est due au fait qu'une onde carrée contient beaucoup de fréquences. Chacun de ceux-ci peut être atténué et déphasé indépendamment. Lorsque vous modifiez la force relative et les phases des harmoniques, vous obtenez un signal différent dans le domaine temporel.

Une onde carrée peut être considérée comme la superposition d'une série infinie de sinus. Ce sont du tout les harmoniques impaires (multiples entiers impairs de la fréquence fondamentale). L'amplitude de ces harmoniques diminue à des fréquences plus élevées.

Vous pouvez passer une onde carrée à travers plusieurs filtres passe-bas RC successivement, chacun avec une fréquence de coupure bien inférieure à celle de la fréquence de l'onde carrée. Après chaque filtre, le résultat ressemble de plus en plus à un sinus. En effet, ces filtres atténuent davantage les hautes fréquences que les basses. Cela signifie que les harmoniques de l'onde carrée sont plus atténuées que la fondamentale. Si vous faites cela suffisamment, les harmoniques ont si peu d'amplitude par rapport au fondamental, que tout ce que vous voyez est le fondamental. C'est une fréquence unique, donc un sinus.

Ajoutée

Ce n'est pas ainsi que réagirait un filtre RC:

Pour un filtre passe-bas RC, lorsque la fréquence d'entrée est bien en dessous du rolloff, la sortie suit principalement l'entrée. Bien au-dessus de la fréquence d'atténuation, la sortie est l'intégrale de l'entrée.

Quoi qu'il en soit, il n'y aura pas de changements soudains dans la pente de sortie comme vous le montrez. Il n'y a rien de spécial à propos du croisement d'entrée au-dessus ou au-dessous de la sortie, car cela se passe bien. Vous obtenez un point d'inflexion dans la sortie, mais c'est une bosse lisse puisque l'entrée s'approche en douceur avant et quitte en douceur après.

Il peut être instructif d'écrire une boucle pour simuler cela vous-même. Tout ce que vous avez à faire à chaque étape est de modifier la sortie d'une petite fraction de la différence instantanée de l'entrée moins la sortie. C'est ça. Ensuite, lancez une onde sinusoïdale et voyez comment la sortie suit en douceur pour créer un autre sinus, bien qu'en retard de phase et en amplitude.

Olin Lathrop
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Merci pour l'explication claire (: Le domaine de fréquence permet de comprendre plus facilement pourquoi les entrées sinusoïdes produisent des sorties sinusoïdes! Mais encore un peu magique pour moi comment tous ces circuits connaissent la série Fourier et répondent à chacune des harmoniques dans l'entrée séparément!
Hiiii
Hé désolé, je comprends dans le domaine fréquentiel, mais je n'ai pas encore pu convaincre mon raisonnement dans le domaine temporel -_- Pourriez-vous s'il vous plaît consulter ma question mise à jour. J'ai posté une nouvelle photo. Merci encore :)
Hiiii
@Hiiii, ne voyez pas qu'une forme d'onde est «décomposée» en forme d'onde sinusoïdale. Voyez que toutes ces formes d'onde sinusoïdales distinctes existent et que nous en prenons une vue «fausse» comme une seule forme d'onde complexe. La forme d'onde complexe unique est la vue de niveau supérieur, pas la norme.
TonyM
@TonyM Merci, je pense que je commence à comprendre dans le domaine fréquentiel. Mais je m'embrouille au moment où je commence à penser à ce qui se passe dans le domaine temporel. Pourriez-vous s'il vous plaît regarder la question mise à jour. J'ai ajouté quelques explications à l'image ...
Hiiii
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@Hiii Dans le domaine temporel, si l'entrée est nulle pour t <= 0 et une onde sinusoïdale pour t> = 0, la sortie ne sera pas une onde sinusoïdale immédiatement après l'instant t = 0. Il y aura une réponse transitoire, qui s'éteint avec une constante de temps de 1 / RC, superposée à l'onde sinusoïdale. Dans le domaine des fréquences, vous "ignorez" ce transitoire, car vous envisagez la situation où l'entrée est une onde sinusoïdale pour tous les temps, à la fois dans le passé et dans le futur.
alephzero
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N'oubliez pas que le taux de variation de la tension du condensateur dépend de la différence de tension entre la tension d'entrée et la tension du condensateur. Votre graphique ne représente pas cela.

Lorsque l'entrée et le condensateur sont à 0 V et que l'entrée commence à augmenter, la tension du condensateur devrait commencer à augmenter lentement, car la tension d'entrée (et donc la différence de tension) est également faible.

Lorsque l'entrée atteint un pic, la différence de tension est au maximum, et ici la tension du condensateur augmente le plus rapidement. Lorsque la tension d'entrée commence à baisser, le taux de charge du condensateur diminue également. Une fois que les deux tensions se sont rencontrées, la différence est à nouveau faible pour commencer, de sorte que le taux de décharge est également faible. Il s'avère que cela se traduit par une autre onde sinusoïdale.

Le graphique ci-dessous a été simulé (avec un tableur) avec la règle mentionnée ci-dessus. La différence de tension entre l'entrée et la tension du condensateur est la plus élevée un peu avant le pic de la tension d'entrée.

2π

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Dans votre graphique, le condensateur se décharge le plus rapidement juste après la rencontre des deux tensions, mais ce n'est pas là que la différence de tension est la plus grande. Avec une entrée à onde carrée, ce serait le cas, puisque la tension d'entrée ne changerait pas avant un autre "pas" dans l'onde carrée. Une entrée sinusoïdale change cependant constamment.

ilkkachu
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Il y a quelque chose de déplacé ici. J'obtiens des résultats qualitatifs différents avec mon choix de filtre RC passe-bas (bouchon en série avec une résistance, vin à travers la série, vout à travers la résistance). J'obtiens une quadrature entre Vcap et Icap (et donc Vout), mais rien de tel que le positionnement de la ligne verte entre Vin et Vcap (dont le retard est lié à RC). Utilisons-nous le même circuit?
Sredni Vashtar
Si les lignes rouge et bleue se croisent (c'est-à-dire là où la tension d'entrée et la tension du condensateur sont les mêmes) doivent être aux maxima / minima locaux de la sortie, ou - comme cela semble être le cas à partir des tracés - légèrement en avance sur le min / max de points?
TripeHound
La simulation dans Spice montre que Vcap et Icap sont déphasés de 90 degrés constants, tandis que Vcap est en retard sur Vin pendant une durée correspondant à RC. Les lignes vertes n'avaient pas de signification particulière sur ce graphique (auraient dû être sur le graphique Vcap, Icap, à la place), il est donc bon qu'elles aient disparu. Vin et Vout sont déphasés de 90 degrés plus ledit décalage.
Sredni Vashtar
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Vous obtiendrez une onde sinusoïdale d'une onde sinusoïdale si votre constante de temps RC permet au condensateur de se charger / décharger au même rythme ou plus rapidement lorsque la forme d'onde d'entrée change.

Votre forme d'onde de sortie sera retardée par la charge et la décharge du condensateur légèrement derrière les changements de la forme d'onde d'entrée, appelés décalage de phase.

Vous trouverez beaucoup de théorie et de mathématiques derrière cela sur Internet, si vous ne l'avez pas déjà.

TonyM
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Votre première phrase est techniquement correcte, mais laisse l'impression erronée que vous n'obtiendrez pas un sinus en réponse à un sinus à certaines constantes de temps RC. Un sinus dans un filtre passe-bas RC produit toujours un sinus. La seule question est la quantité d'atténuation et le déphasage, mais la fonction sera toujours un sinus.
Olin Lathrop
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@OlinLathrop, je vois. J'essayais de garder une `` vue CC '', si vous voulez, en restant sur le comportement de charge d'un circuit RC. Ainsi, une onde sinusoïdale à haute fréquence dans un filtre passe-bas (par exemple 1 MHz dans un RC passe-bas fc = 1 kHz) ne produira rien. Mathématiquement faux, mais c'est ce qui se passe si vous collez une lunette sur une. J'ai presque écrit "Ceci est une vue non mathématique de celui-ci" au paragraphe 3, pour montrer que j'essaie de faire passer une idée. Est-ce plus logique, bon, mauvais ou avez besoin de modifications?
TonyM
Je pense que vous devriez ajouter l'atténuation. Le filtre "ralentit" davantage l'onde sinusoïdale à mesure que la fréquence de l'onde sinusoïdale d'entrée augmente, ce qui ne change pas la forme mais modifie la phase relative et l'amplitude. La réponse acceptée me semble également incomplète à cet égard.
Todd Wilcox
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Pour moi, le domaine temporel est ici plus explicatif. Si vous regardez votre premier graphique, vous voyez ce qui apparaît comme une fonction pas à pas (pour la première demi-période). Autrement dit, vous appliquez soudainement une tension, puis la maintenez constante. Cela signifie que le condensateur tentera d'atteindre la tension appliquée selon ses propres lois, ici de la forme 1-exp(-x).

Si, en revanche, vous appliquez une onde sinusoïdale, pendant la même demi-période vous n'avez plus une montée en tension abrupte, et elle ne reste pas constante: elle augmentera de plus en plus lentement, jusqu'à ce qu'un pic soit atteint, puis il diminuera de plus en plus vite, sommairement autour de son pic. Cela signifie que le condensateur se charge d'abord, de plus en plus lentement, puis se décharge, de plus en plus vite. Ce que vous avez dessiné est le résultat (à tout le moins) d'une charge continue; le sinus se déchargera également.

RCpéché(X)=jeeXp(-jeX)-eXp(jeX)2

un citoyen concerné
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