27

Disons que j'ai un sinus de 1 kHz, donc pas d'harmoniques plus élevées, alors je dois l'échantillonner au moins à 2 kHz pour pouvoir le reconstruire.
Mais si j'échantillonne à 2 kHz, mais que tous mes échantillons sont sur le passage par zéro, alors mon signal échantillonné ne montre pas du tout de sinus, plutôt l'ECG d'un patient décédé. Comment expliquer cela?

Cela peut également être étendu à des fréquences d'échantillonnage plus élevées. Si j'échantillonne une forme d'onde plus complexe à 10 kHz, je devrais au moins obtenir les 5 premières harmoniques, mais si la forme d'onde est telle que les échantillons sont à chaque fois zéro, alors encore une fois nous n'obtenons rien. Ce n'est pas farfelu, c'est parfaitement possible pour une onde rectangulaire avec un rapport cyclique <10%.

Alors pourquoi le critère de Nyquist-Shannon semble-t-il invalide ici?

analysis Federico Russo
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7

Le critère de Nyquist est un minimum. D'autres problèmes, comme l'aliasing, pourraient nécessiter un échantillonnage plus élevé ou d'autres contre-mesures.

drxzcl

Hou la la! 3 réponses pour 6 vues!

Federico Russo

@FedericoRusso Vous avez tendance à poser de bonnes questions

m.Alin

1

Bref: dans votre exemple, l'échantillonnage d'un sinus de 1 kHz à 2 kHz alias le signal à celui d'un sinus de 0 Hz - entraînant la mort du patient!

Phil

26

Vous avez en fait besoin d' un taux d'échantillonnage d'un peu plus de 2 kHz pour échantillonner correctement les ondes sinusoïdales de 1 kHz. C'est pas

F_{N} < F_{S} / 2

$f_N < f_S / 2$

F_{N} \leq F_{S} / 2

$f_N \le f_S / 2$

PS Si vous avez pris votre signal dans un espace complexe, où une sinusoïde est de la forme où t est le temps, A est l'amplitude, f est la fréquence et θ est le déphasage,

v (t) = UNE e^{j (2 π F t - θ)} = UNE (\cos (2 π F t - θ) + j péché (2 π F t - θ))

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

est le point où la fréquence "se replie", c'est-à-dire que vous ne pouvez pas distinguerfde-f. De nouvelles augmentations de fréquence apparaîtront, après échantillonnage, pour en soustraire la fréquence d'échantillonnage, dans le cas d'une sinusoïde pure.

F_{N} = F_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

Non sinusoïdes

Dans le cas d'une onde carrée à 1 kHz avec un rapport cyclique inférieur ou égal à 10% échantillonné à 10 kHz, vous comprenez mal l'entrée.

Vous devez d'abord décomposer votre forme d'onde en une série de Fourier pour déterminer quelles sont les amplitudes des harmoniques composantes. Vous serez probablement surpris que les harmoniques de ce signal soient assez grandes au-delà de 5 kHz! (La règle empirique de la troisième harmonique étant 1/3 aussi forte que la fondamentale, et la 5e étant 1/5 de la fondamentale, ne s'applique qu'aux ondes carrées à 50% de rapport cyclique .)

La règle générale pour un signal de communication est que votre bande passante complexe est la même que l'inverse du temps de votre plus petite impulsion, donc dans ce cas, vous regardez une bande passante minimale de 10 kHz (-5 kHz à 5 kHz) pour un rapport cyclique de 10% avec le fondamental à 1 kHz (soit 10 kbps).

Donc, ce qui vous ruinera, c'est que ces fortes harmoniques d'ordre supérieur se replieront et interféreront (de manière constructive ou destructrice) avec vos harmoniques dans la bande, il est donc parfaitement normal que vous n'obteniez pas un bon échantillonnage car tant d'informations sont en dehors de Nyquist B: et.

Mike DeSimone
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1

Cela n'explique cependant pas le deuxième exemple, où la fréquence d'échantillonnage est 10 fois la fréquence de groung

Federico Russo

Ouais, j'ai raté ça. Ajouté à ma réponse. Chose amusante à penser: le câble de catégorie 5e, qui peut transporter des données Gigabit Ethernet, a une bande passante spécifiée de 100 MHz. Cat 6 passe à 250 MHz et cat 7 passe à 750 MHz.

Mike DeSimone

Cela signifierait donc que, pour l'amplitude et la phase du signal pulsé, chaque harmonique a une correspondance avec une harmonique en miroir avec exactement la même phase, mais une amplitude inversée?

Federico Russo

@Federico: "replier" dans ce cas signifie refléter la fréquence de Nyquist. Donc, si vous échantillonnez à 10 kHz et que vous essayez d'échantillonner un sinus de 11 kHz, vous obtiendrez une sortie de 9 kHz à la place. Essayez d'échantillonner 13 kHz et vous obtiendrez 7 kHz à la place.

endolith

1

Pour le dernier commentaire, l'exemple est lorsque vous regardez les voitures à la télévision: lorsque la vitesse de rotation approche d'un multiple du taux de rafraîchissement, la roue semble ralentir jusqu'à ce qu'elle soit immobile, puis commence à tourner dans le sens opposé.

clabacchio

8

Mike l'explique bien: c'est l'aliasing qui fait disparaître les harmoniques dans le signal échantillonné, le repliement des fréquences les plus hautes de à . Lorsque vous travaillez avec des signaux échantillonnés, vous devez toujours vous assurer de filtrer tout ce qui dépasse . $F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

entrez la description de l'image ici

$-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

entrez la description de l'image ici

$F_S / 2$

$F_S$ $F_S / 2$

Stevenvh
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1

+1 pour les photos. Faites-le beaucoup plus clair.

Federico Russo

Ouais photos! Je devrais les utiliser plus souvent, mais je m'amuse trop avec l'art ASCII. Quoi qu'il en soit, tout ce qui se chevauche dans la figure 2 pourrait être utilisable si les fréquences que vous utilisez réellement sont complètement dans la partie sans chevauchement, mais ce n'est pas courant en dehors de la modulation sigma-delta.

Mike DeSimone

Dans certains cas, il peut être acceptable de laisser passer les éléments d'échantillonnage supérieurs à Fs / 2, si l'on supprime, après l'échantillonnage, tout ce qui se trouve aux fréquences crénelées. Par exemple, si l'on veut se retrouver avec un audio échantillonné à 8 000 Hz sans filtrer les éléments inférieurs à 3 500, il peut être difficile de créer un filtre aussi net à l'aide de circuits analogiques. D'un autre côté, si l'on commence par échantillonner à 16 000 Hz et filtre numériquement les éléments au-dessus de 4 000 Hz, il suffit d'un filtre analogique qui atténue les éléments au-dessus de 12 KHz tout en conservant les éléments en dessous de 4 KHz. Tout ce qui se situe entre 4-12Khz serait alias à 4-8Khz.

supercat

@supercat - Votre filtre anti-alias doit toujours être analogique. Je suis d'accord avec votre point sur le filtre analogique, mais les chiffres que vous utilisez sont incorrects. 4-12 kHz sera alias à 4-12 kHz, pas à 8 kHz. (Vous pouvez facilement voir cela si vous vérifiez les bandes passantes, qui devraient être égales.)

stevenvh

@stevenvh: En règle générale, le résultat de l'échantillonnage est décrit uniquement en termes de fréquences à Nyquist ou en dessous, je pense, bien que chaque fréquence en dessous de Nyquist sera aliasée à une entre Nyquist et le taux d'échantillonnage. Mon point est que si l'on prévoit de filtrer numériquement quoi que ce soit au-dessus de 4KHz, on n'a pas à craindre que les fréquences entre 8KHz-12Khz se replient dans la gamme 4KHz-8KHz; car ils seront de toute façon filtrés. On a presque toujours besoin d'une sorte de filtre anti-crénelage analogique, mais dans de nombreux cas, le suréchantillonnage peut considérablement alléger les exigences. C'est ...

supercat

1

Le théorème est ok. Votre signal ne doit PAS contenir de fréquences égales ou supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, selon Nyquist. Shannon le permet probablement, mais c'est sa version du théorème, qui provoque probablement une ambiguïté à la fréquence critique.

Edit (Re: downvoting pour une réponse courte?): Je ne vois pas la nécessité d'expliquer la méthode d'échantillonnage elle-même. La question porte sur la confusion "la fréquence critique est-elle incluse dans la bande ou non", et si le libellé du théorème de Shannon contient un défaut. C'est le cas (comme je le vois dans le wiki mondial). Ou très probablement, les auteurs du wiki ont cité son mot de façon imprécise. Et au fait, il y a 4 auteurs indépendants au 20ème siècle de ce même théorème, donc la confusion de quiconque apprend l'idée à partir de sources aléatoires peut empirer.

la source

Si votre entrée d'échantillonnage n'a pas de filtre passe-bas, rien ne doit être filtré; toutes les harmoniques doivent se replier et potentiellement interférer les unes avec les autres. Certaines radios modernes utilisent le pliage de fréquence de Nyquist comme décalage de bande en utilisant un ADC à entrée large bande avec un filtre passe-bande à l'extrémité avant.

Mike DeSimone

@Mike DeSimone: Merci d'avoir expliqué l'effet d'alias, mais encore une fois, la question ne concerne pas la reconstruction "en fin de bande", pas "en bande" ou "hors bande".

0

$N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$ $t$

Mais selon Wikipedia:

En substance, le théorème montre qu'un signal analogique à bande limitée qui a été échantillonné peut être parfaitement reconstruit à partir d'une séquence infinie d'échantillons si la fréquence d'échantillonnage dépasse 2B échantillons par seconde, où B est la fréquence la plus élevée du signal d'origine.

Donc, une fréquence d'échantillonnage de deux fois la fréquence est erronée - elle devrait être un peu plus de deux fois la fréquence. De cette façon, des échantillons successifs capturent des parties légèrement différentes de la forme d'onde.

Majenko
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Comme je l'ai également dit à Mike: cela n'explique cependant pas le deuxième exemple, où la fréquence d'échantillonnage est 10 fois la fréquence de groung

Federico Russo

Une onde rectangulaire a des harmoniques incroyablement élevées. Nyquist déclare que c'est pour un peu plus de 2x la fréquence la plus élevée. La fréquence la plus élevée pourrait être des centaines, voire des milliers de fois supérieure à un cycle de service de 50%.

Majenko

C'est aussi pour un signal continu - une onde rectangulaire PWM à 10% de service n'est pas continue. Un PWM à 50% pourrait être considéré comme un signal continu pour la fréquence la plus basse (le rapport cyclique), mais pas pour les fréquences plus élevées.

Majenko

@Matt - chaque signal est cintinuous pour la fréquence la plus basse, puisque toutes les fréquences de composition sont des sinus, selon Fourier. Il est également parfaitement possible de rendre le pouls de Federico continu et d'avoir toujours le même résultat échantillonné.

stevenvh

0

Lors de l'échantillonnage à un taux F particulier, chaque composante de fréquence f générera des alias de la forme kF + f et kF- f pour toutes les valeurs entières de k. Dans l'utilisation courante, il n'y a pas de composantes de fréquence au-dessus de F / 2 lorsque le signal est échantillonné, donc les seules composantes dans la plage 0 à F / 2 seront celles qui étaient présentes dans le signal d'origine. Après l'échantillonnage, il y aura des composantes de signal supérieures à F / 2 (générées comme alias de celles ci-dessous). Le plus gênant pour toute fréquence f du signal d'origine sera celui à la fréquence F- f .

Notez que comme fréquence fs'approche de F / 2 par le bas, la première fréquence d'alias s'approchera de F / 2 par le haut. Si l'entrée contient un signal à la fréquence F / 2-0,01 Hz, il y aura un alias à la fréquence F / 2 + 0,01 Hz - juste 0,02 Hz au-dessus. La séparation des signaux d'origine et des alias sera théoriquement possible, mais en pratique difficile. La forme d'onde échantillonnée apparaîtra comme la somme de deux ondes de force égale de fréquence presque égale. En tant que telle, son amplitude semblera changer avec la phase relative des ondes de fréquence plus élevée. Dans le cas où la fréquence d'entrée est exactement F / 2, la fréquence d'alias sera également exactement F / 2. Comme il n'y aura aucune séparation de fréquence entre l'original et l'alias, la séparation sera impossible. La relation de phase entre les signaux d'origine et repliés déterminera l'amplitude du signal résultant.

supercat
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Intrigué par la fréquence de Nyquist

Réponses:

Non sinusoïdes