Fourier contre Laplace

Supposons que j'ai un réseau RLC dans une boîte noire et que je le frappe fort en laboratoire pour obtenir la réponse impulsionnelle. J'ai deux options maintenant, je peux prendre la transformée de Fourier ou la transformée de Laplace pour obtenir la réponse en fréquence. Comment puis-je savoir lequel choisir et quelle est la différence physique entre chacun?

On m'a dit que la transformée de Laplace vous donne également la réponse transitoire ou la décroissance, contrairement à la transformée de Fourier. Est-ce vrai? Si j'applique soudainement un signal sinusoïdal à l'entrée, alors il devrait y avoir une réponse transitoire pendant une brève période de temps où la sortie n'est pas une sinusoïde jusqu'à ce que le système se stabilise. Quelqu'un peut-il me donner un exemple pratique en termes de réseau RLC pour montrer comment cela est vrai?

Aussi, souvent en classe circuits, on prend la transformée de Laplace d'un circuit où la partie réelle de $s = \sigma + j\omega$ est supposé être de toute façon nul, donc quand on utilise $\frac{1}{Cs}$ pour désigner la transformée de Laplace du condensateur, on suppose que cela équivaut à $\frac{1}{j\omega C}$. Je crois que la partie réelle est nulle puisque le courant à travers le condensateur est déphasé de 90 degrés avec la tension aux bornes - est-ce correct? Je pensais que la transformée de Fourier était la même que la transformée de Laplace avec$\sigma = 0$. Cependant, cela ne semble pas être vrai - considérez$x(t) = u(t)$:

Nous pouvons voir que même si je remplace $s = j \omega$sans véritable partie à la sortie de la transformée de Laplace, ils ne sont toujours pas égaux. Comment se fait-il que la transformée de Fourier ait une composante d'impulsion supplémentaire mais pas Laplace? Quand puis-je remplacer$s = j\omega$ et s'attendre à ce que la transformée de Fourier soit égale à la transformée de Laplace?

Edit: la dernière partie de ma question a des réponses ici et ici .

La transformée de Fourier et de Laplace ne sont pas identiques. Tout d'abord, notez que lorsque nous parlons de la transformation de Laplace, nous entendons très souvent la transformation unilatérale de Laplace, où les intégrales de transformation commencent à$t=0$ (et pas à $t=-\infty$), c'est-à-dire qu'avec la transformée de Laplace, nous analysons généralement les signaux et les systèmes causaux. Avec la transformée de Fourier, ce n'est pas toujours le cas.

Afin de comprendre les différences entre les deux, il est important de regarder la région de convergence (ROC) de la transformée de Laplace. Pour les signaux causaux, le ROC est toujours un demi-plan droit, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de pôles (d'une fonction rationnelle dans$s$) à droite d'une certaine valeur $\sigma_0$ (où $\sigma$ désigne la partie réelle de la variable complexe $s$). Maintenant si$\sigma_0<0$, c'est-à-dire si le $j\omega$ l'axe est à l'intérieur du ROC, alors vous obtenez simplement la transformée de Fourier en définissant $s=j\omega$. Si$\sigma_0>0$alors la transformée de Fourier n'existe pas (car le système correspondant est instable). Le troisième cas ($\sigma_0=0$) est intéressant car ici la transformée de Fourier existe mais ne peut pas être obtenue à partir de la transformée de Laplace en posant $s=j\omega$. Votre exemple est de ce type. La transformée de Laplace de la fonction pas a un pôle à$s=0$, qui repose sur le $j\omega$axe. Dans tous ces cas, la transformée de Fourier a des$\delta$ impulsions aux emplacements des pôles sur la $j\omega$ axe.

Notez qu'il n'est pas vrai que la transformée de Fourier ne peut pas traiter les transitoires. Ceci est juste un malentendu qui vient probablement du fait que nous utilisons souvent la transformée de Fourier pour analyser le comportement en régime permanent des systèmes en appliquant des signaux d'entrée sinusoïdaux définis pour$-\infty<t<\infty$. Veuillez également consulter cette réponse à une question similaire.

Ok, donc vous frappez une boîte noire faite de composants RLC et vous mesurez la réponse - la réponse impulsionnelle. Maintenant, vous voulez connaître la réponse en fréquence, c'est-à-dire la réponse à toute sinusoïdale.

Tout d'abord, vous ne pouvez pas vraiment exciter votre système avec une pure sinusoïdale. Il est trop tard, tu aurais dû commencer par le big bang. Le mieux que vous puissiez faire est d'utiliser une sinusoïdale causale, qui a des composantes de fréquence supplémentaires.

Mais disons que ce que vous voulez savoir, c'est la réponse du système à une entrée arbitraire dans le domaine temporel. Vous n'avez pas vraiment besoin de Fourier ou de Laplace pour le savoir. Une convolution fera l'affaire.

Qu'avez-vous vraiment en main? Vous avez mesuré la réponse impulsionnelle. D'une manière ou d'une autre, vous l'avez tracé, disons en continu, contrairement à un ADC qui échantillonne le signal - ce qui se produit généralement, et vous poseriez plutôt des questions sur la transformation Z par rapport à la FFT. Supposons également que le coup que vous lui avez donné était un bon delta: fort mais court.

Puisque votre système est RLC, il est linéaire, donc les principes de superposition fonctionnent (nous n'en parlerions pas autrement de toute façon). Toute entrée peut être construite en ajoutant des impulsions atténuées décalées dans le temps (en quelque sorte - c'est une chose limite). Donc, la réponse totale consiste simplement à additionner toutes ces réponses individuelles ensemble. Cet ajout est exactement ce que fait l'entrée de convolution (t) * impulseResponse (t). Vous pouvez considérer le système RLC comme un "convoluter matériel". C'est probablement le moyen le plus précis de prédire une réponse à une entrée arbitraire.

Maintenant, je veux clarifier quelque chose, qui est la relation de Laplace avec Fourier. Notre domaine est les fonctions causales, car il n'est pas logique de comparer le Laplace unilatéral avec Fourier autrement. De plus, tous les signaux réels sont causaux. Mathématiquement, la transformée de Laplace n'est que la transformée de Fourier de la fonction pré-multipliée par une exponentielle en décomposition. C'est aussi simple que cela. Donc, si une transformée de Fourier n'existe pas parce que les intégrales sont infinies, Laplace peut toujours exister si l'exponentielle en décroissance est suffisamment forte, car l'intégrale de la fonction `` atténuée '' convergerait. D'un point de vue mathématique, cela peut être extrêmement utile dans certains cas.

Mais ce que vous voulez vraiment, c'est créer un système de contrôle pour votre usine. Dans ce cas, ce que vous faites est d'inspecter la réponse, puis de l'approximer avec un modèle de 1er ou de 2e ordre plus un retard de groupe. Ce ne sera donc pas exact, mais en faisant cela, vous abandonnez tous les petits détails de la réponse réelle, et obtenez l'énorme avantage de pouvoir brancher ce modèle sur des équations et des algorithmes de contrôle et des dizaines de livres de connaissances sur la théorie du contrôle et concevoir et simuler votre système de contrôle. Dans ce cas, vous utiliseriez un modèle Laplace, car vous obtenez immédiatement des pôles et des zéros qui peuvent être utilisés pour l'analyse de stabilité.