Problème de maximisation des bénéfices avec régression linéaire (MLS groupée)

Je suis actuellement en mission dans une université où je suis plus ou moins coincé au milieu. Je dois répondre au problème suivant:

Supposons que vous souhaitiez estimer la fonction de production pour la production agricole (comme dans l'article séminal Mundlak 1961 ). Vous avez accès aux données d'un grand nombre de fermes $i$ pour $T \geq 1$ périodes. La fonction de production que vous souhaitez estimer est:

$$\begin{equation} y_{it} = x_{it}\beta + \alpha_i + \epsilon_{it} \end{equation}$$

où $y_{it}$ est log-sortie, $x_{it}$ est log-travail (une entrée variable), $\alpha_i$ est log-sol de qualité (une entrée fixe) et $\epsilon_{it}$ est précipitations (une entrée aléatoire). Chaque agriculteur connaît le prix de la production $P_t$ , le taux de salaire $W_t$ et la qualité du sol de son exploitation $\alpha_i$ . Cependant, en tant qu’économétricien, vous n’observez que ( $y_{it}$ , $x_{it}$ ). Supposer que $\epsilon_{it}$ is $iid$ et indépendant de tout le reste du modèle.

Résolvez le problème de maximisation du profit de l'agriculteur en supposant qu'il vende sa production à un prix de marché commun (entre agriculteurs) $P_t$ et paie des salaires communs $W_t$ . (Conseil: il peut être utile de noter la fonction de production en niveaux plutôt qu'en journaux.) Par commodité de notation, supposons que $Ee{^{\epsilon_{it}}} = \lambda$ . La demande de travail dépend-elle de $\alpha_i$ ? Expliquez l'intuition économique derrière le résultat.

C’est la tâche précédente à laquelle il est répondu comme suit:

$$y_{it} = x_{it}\beta + \alpha_i + \epsilon_{it}$$

$$Y_{it} = A_iX_{it}^\beta\cdot u_{it}$$

$$\exp(y_{it}) = \exp(x_{it}\beta + \alpha_i + \epsilon_{it})$$

$Y_{it} = exp(y_{it})$ $X_{it}=\exp(x_{it})$$A_i = \exp(\alpha_i)$$u_{it} = \exp(\epsilon_{it})$

Le problème du profit maximum est alors

$$\max_{X_{it}}\Pi_{it} = P_t A_iX_{it}^\beta\cdot u_{it} - W_t X_{it}$$

Etant donné le caractère iid de et les connaissances des agriculteurs, le bénéfice escompté est identique à substitué à :$\epsilon_{it}$$\mathbb E[u_{it}]$$u_{it}$

$$\max_{X_{it}}\mathbb E [\Pi_{it}] = P_t A_iX_{it}^\beta\cdot \mathbb E [u_{it}] - W_t X_{it}$$

La solution à la demande de main-d’œuvre est

$$X_{it}^\star= \left(\frac{P_tA_i \mathbb E [u_{it}] }{W_t}\right)^{\frac{1}{1-\beta}}$$

la hausse des prix, la qualité du sol et les précipitations attendues devraient toutes augmenter les revenus marginaux du travail et donc la demande de main-d'œuvre pour un salaire donné.

Voici la question sur laquelle je suis coincé:

Sous quelle hypothèse pouvez-vous récupérer une estimation cohérente pour en exécutant OLS (en pool)? D'après ce que vous avez trouvé dans (1a), pensez-vous que cette hypothèse est violée dans cette affaire? (aucune preuve requise)$\beta$

Quelqu'un pourrait-il me donner des indices sur la manière de s'attaquer à cette tâche? Extrêmement heureux pour toute aide!