Condition de premier ordre pour la maximisation des profits dans l'industrie du jeu

Je travaille sur un modèle de pourcentage de paiement optimal dans l'industrie du jeu.

Comme le prix nominal d'un billet de 1 $ est toujours de 1 $, nous utilisons une stratégie de prix efficace où Q = \ 1 $ en prix gagnés. Si un jeu rapporte 50%, le prix effectif est de 2 $, car c’est ce qu’il faudrait dépenser pour gagner un prix attendu de 1 $. Assez simple, non?

Eh bien, je suis tombé sur cette note de bas de page dans certaines recherches et je ne peux pas comprendre comment ils sont parvenus à la condition de premier ordre pour la maximisation du profit depuis la première équation:

"Soit $ C (Q) $ les coûts d’exploitation en fonction des unités de quantité, une unité de quantité étant définie comme un dollar en valeur attendue des prix.

Les bénéfices nets de l'agence de loterie sont donnés par

$$ N = PQ - Q - C (Q) $$

où $ P $ est le prix facturé pour une unité de quantité.

La condition de premier ordre pour la maximisation du profit peut être écrite

$$ - E_ {PQ} = P (1 - C ') / [P (1 -C') - 1] $$

Si les coûts d'exploitation marginaux représentent 6 $ pour cent des ventes et que le taux de distribution est de 50 $ pour cent, nous avons P = 2 $ et C '= 0,12 $, ce qui implique que l'élasticité de la demande par rapport au profit au profit maximal est de -2,3 $ .

Pour que le taux de paiement augmente de manière à augmenter les profits, $ E_ {PQ} $ doit dépasser 2,3 $ en valeur absolue. "

- [Citation] Clotfelter, Charles T. et Philip J. Cook. "Sur l'économie des loteries d'État." Journal of Economic Perspectives: 105-19.

Dans l'équation FOC, $ -E_ {PQ} $ est l'élasticité effective de la demande par rapport au prix. Cela se trouverait normalement en prenant le dérivé de $ P $ par rapport à $ Q $ dans la première équation.

Comment se sont-ils retrouvés là où ils ont été? Il doit y avoir quelque chose qui me manque.

J'ai du mal à comprendre comment cette condition de premier ordre a été atteinte - si cela résultait d'un processus dérivé de l'équation du revenu net ou s'il s'agissait simplement d'une condition externe.

Merci!

L'expression en question se trouve à la note $ 11 $ de l'article cité en référence. En lisant le papier, nous voyons que la variable de décision ici est "le taux de distribution", qui est l'inverse de $ P $. Donc, de manière équivalente, nous pouvons résoudre le problème de la maximisation concernant $ P $ (et non avec w $ Q $). De plus, "l'élasticité de la demande par rapport au prix" implique le dérivé de Q $ par rapport à P $, et non l'inverse:

$$ E_ {PQ} = \ frac {dQ / dP} {Q} P $$

et nous nous attendons à ce qu’elle soit négative (un prix plus élevé signifie un taux de distribution plus bas, ce qui entraîne une demande moins importante pour la mesure de quantité ici, c’est-à-dire une "demande de prix" moindre).

On peut écrire le problème de maximisation comme $$ \ max_ {P} N = \ max_ {P} \ left [P \ cdot Q (P) - Q (P) - C (Q (P)) \ right] $$

La condition de premier ordre est

$$ \ frac {\ partial N} {\ partial P} = Q + P \ cdot Q '- Q' - C '\ cdot Q' = 0 \ tag {1} $$

Multipliez tout au long par $ P / Q $:

$$ Q \ frac PQ + P \ cdot Q '\ frac PQ - Q' \ frac PQ - C '\ cdot Q' \ frac PQ = 0 $$

$$ \ Rightarrow P + P \ cdot E_ {PQ} - E_ {PQ} - C '\ cdot E_ {PQ} = 0 $$

$$ \ Rightarrow -E_ {PQ} = \ frac {P} {P-1-C '} \ tag {2} $$

C'est logique. En branchant les valeurs présentées dans la référence, nous avons

$$ - E_ {PQ} = \ frac {2} {2-1-.12} = \ frac {2} {0,88} \ environ 2,27 $$

ce qui est très proche de la valeur résultant de l'équation présentée par les auteurs. Quelles que soient les manipulations algébriques que j'ai essayées, je n'ai pas été en mesure de reproduire leur formule, mais eq $ (2) $ est correct dans tous les cas. Si un rapprochement se produit, je vais mettre à jour.