Algorithmes polynomiaux pour UPB (Bases de produits non extensibles)

Considérons un espace de Hilbert . Une base de produits non extensible (UPB) est un ensemble de vecteurs de produits \ vert v_i \ rangle = \ vert v_i ^ 1 \ rangle \ otimes \ dots \ otimes \ vert v_i ^ n \ rangle tels que:$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

a) tous les $\vert v_i \rangle$ sont mutuellement orthogonaux

b) il n'y a pas de vecteur produit orthogonal à tout $\vert v_i \rangle$

c) la base n'est pas triviale, c'est-à-dire qu'elle ne couvre pas $H$

(ces bases présentent un intérêt pour l'information quantique)

Des questions:

1. Existe-t-il un algorithme polynomial (en $n$ ) pour trouver les UPB? (notez qu'en général il n'y a pas de limite supérieure sur la taille de l'UPB, donc a priori elle peut être exponentielle en $n$ )

2. Existe-t-il un algorithme polynomial pour vérifier si une base de produit donnée est une UPB? (c.-à-d. n'est pas extensible)

Ou le problème est-il NP-complet?

Je suis un peu déconcerté par la question (1). Une base de produit non extensible existe dans si ou si et . Dans tous ces cas, il est simple d'en trouver un.$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$$n\geq 3$$n=2$$\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$

Pour la question (2), la question équivaut à vérifier s'il existe un état de produit tensoriel dans le sous-espace qui est le complément de l'espace couvert par la base. Leonid Gurvits a montré que vérifier si un sous-espace général contient un état de produit tensoriel est NP-difficile, donc je soupçonne que c'est difficile dans ce cas également.

La classification complète est également connue pour un autre cas simple 3x3, ceci est d'abord abordé dans l'article http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

Le résultat est également lié à la construction d'états arbitraires en PPT 3x3 de rang quatre. Voir le papier

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .