Cohérence relative de l'AP et de certaines théories de types

Pour une théorie des types, par cohérence, je veux dire qu'elle a un type qui n'est pas habité. De la forte normalisation du cube lambda, il s'ensuit que le système $F$ et le système $F_\omega$ sont cohérents. Les types inductifs MLTT + ont également une preuve de normalisation. Cependant, ceux-ci devraient tous être suffisamment puissants pour construire un modèle d'AP, ce qui prouve que l'AP est cohérente à partir de ces théories. Le système $F$ est assez puissant , donc je m'attends à ce qu'il soit en mesure de prouver la cohérence de l'AP en construisant un modèle en utilisant des chiffres d'église. MLTT + IT a un type inductif de nombres naturels et devrait également prouver la cohérence.

Tout cela implique que les preuves de normalisation de ces théories ne peuvent pas être internalisées dans PA. Donc:

1. Le système $F$ , le système $F_\omega$ et MLTT + IT peuvent-ils réellement prouver la cohérence de PA?
2. S'ils le peuvent, alors quelle métathéorie est nécessaire pour prouver la normalisation du système $F$ , $F_\omega$ et MLTT + IT?
3. Existe-t-il une bonne référence pour la théorie de la preuve des théories de types en général, ou pour certaines de ces théories de types en particulier?

La réponse courte à votre question 1 est non , mais pour des raisons peut-être subtiles.

Tout d'abord, le système $F$ et ne peuvent pas exprimer le premier ordre théorie de l' arithmétique , et encore moins la consistance de P A .$F_\omega$ $\mathrm{PA}$

Deuxièmement, et c'est vraiment surprenant, peut en fait prouver la cohérence de ces deux systèmes! Cela se fait à l'aide du modèle dit non pertinent pour la preuve , qui interprète les types comme des ensembles ∈ { ∅ , { ∙ } } , où ∙ est un élément factice représentant un habitant d'un type non vide. Ensuite, on peut écrire des règles simples pour le fonctionnement de → et $\mathrm{PA}$$\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$$\bullet$$\rightarrow$$\forall$ sur ces types assez facilement pour obtenir un modèle pour le système , dans lequel le type ∀ X . X est interprété par $F$$\forall X.X$$\varnothing$. On peut faire une chose similaire pour , avec un peu plus de soin pour interpréter les types supérieurs comme des espaces de fonctions finies.$F_\omega$

Il y a un paradoxe apparent ici, où peut prouver la cohérence de ces systèmes apparemment puissants, mais pas (comme je le montrerai dans un instant) la normalisation.$\mathrm{PA}$

L'ingrédient manquant ici est la réalisabilité . La réalisabilité est un moyen de faire correspondre certains programmes à certaines propositions, généralement en arithmétique. Je n'entrerai pas dans les détails ici, mais si un programme réalise une proposition ϕ , écrite p ⊩ ϕ , alors nous avons une certaine preuve pour $p$$\phi$$p\Vdash \phi$$\phi$ , en particulier si se normalise, alors p ⊮ ⊥ . Nous avons:$p$$p\not\Vdash\bot$

Théorème: Si est un théorème d'arithmétique d'ordre 2 P A 2 , alors il y a un terme fermé $\phi$$\mathrm{PA}_2$$t$ du système tel que t ⊩ $F$

$$t\Vdash\phi$$

Ce théorème peut être prouvé dans , et donc nous avons P A ⊢ F  normalise ⇒ P A 2  est cohérent et l'argument de Gödel s'applique (et P A ne peut pas prouver la normalisation du système F ). Il est utile de noter que l'implication inverse est aussi bien, nous avons donc une caractérisation exacte de la puissance de preuve nécessaires pour prouver théorétique la normalisation du système F .$\mathrm{PA}$

$$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$$ $\mathrm{PA}$$F$$F$

Il y a une histoire similaire pour le système , qui, je crois, correspond à une arithmétique supérieure P A ω .$F_\omega$$\mathrm{PA}_\omega$

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Enfin, nous avons le cas délicat du MLTT avec des types inductifs. Là encore, une question quelque peu subtile se pose. Certes, nous pouvons ici exprimer la cohérence de , donc ce n'est pas un problème, et il n'y a pas de modèle non pertinent pour la preuve, car nous pouvons prouver que le type N a t a au moins 2 éléments (une quantité infinie d'éléments distincts , En réalité).$\mathrm{PA}$$\mathrm{Nat}$

Cependant, nous rencontrons un fait surprenant de théories intuitionnistes d'ordre supérieur: , la version d'ordre supérieur de Heyting Arithmetic est conservatrice par rapport à H A ! En particulier, nous ne pouvons pas prouver la cohérence de P A , (qui est équivalente à celle de H A ). Une raison intuitive à cela est que les espaces fonctionnels intuitionnistes ne vous permettent pas de quantifier sur un sous-ensemble arbitraire de $\mathrm{HA}_\omega$$\mathrm{HA}$$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$$\mathbb{N}$ , car toutes les fonctions définissables doivent être calculables.$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

En particulier, je ne pense pas que vous puissiez prouver la cohérence de si vous ajoutez uniquement des nombres naturels à MLTT sans univers. Je crois que l'ajout d'univers ou de types inductifs "plus forts" (comme les types ordinaux) vous donnera cependant suffisamment de puissance, mais je crains de n'avoir aucune référence pour cela. Avec univers, l'argument semble assez simple mais, puisque vous avez assezthéorie de jeu pour construire un modèle de H A .$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$

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Enfin, des références pour la théorie de la preuve des systèmes de types: il y a vraiment une lacune dans la littérature ici je pense, et j'aimerais un traitement propre de tous ces sujets (en fait, je rêve de l'écrire moi-même un jour!). Pendant ce temps:

• Le modèle non pertinent pour la preuve est expliqué ici par Miquel et Werner, bien qu'ils le fassent pour le calcul des constructions, ce qui complique quelque peu les choses.

• L'argument de la réalisabilité est esquissé dans les épreuves et types classiques de Girard, Taylor et Lafont. Je pense qu'ils esquissent également le modèle non pertinent pour la preuve, et beaucoup de choses utiles en plus. C'est probablement la première référence à lire.

• L'argument de la conservativité de l'arithmétique Heyting d'ordre supérieur peut être trouvé dans le deuxième volume insaisissable du constructivisme en mathématiques de Troelstra & van Dalen (voir ici ). Les deux volumes sont extrêmement informatifs, mais assez difficiles à lire pour un novice, à mon humble avis. Cela évite également quelque peu les sujets de théorie de type "moderne", ce qui n'est pas surprenant étant donné l'âge des livres.

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Une question supplémentaire dans les commentaires portait sur la force de cohérence / force de normalisation exacte des inductifs MLTT +. Je n'ai pas de réponse précise ici, mais la réponse dépend certainement du nombre d'univers et de la nature des familles inductives autorisées. Rathjen explore cette question dans l'excellent article La force de certaines théories de type Martin-Lof .

$\cal{T}$$\cal{U}$

$$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$$

ensuite, généralement

$$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$$

$\mathrm{Con}$$\mathrm{Norm}$

$\mathrm{HA}_\omega$ , qui est prouvée dans Besson Recursive Models for Constructive Set Theories .

En ce qui concerne MLTT avec induction-récursivité ou induction-induction, je ne sais pas quelle est la situation, et AFAIK, le problème de la force de cohérence exacte est toujours ouvert.