Conjecture: Tous les langages FPT NP-complets sont à paramètres fixes isomorphes

Conjecture de Berman – Hartmanis: tous les langages NP-complets se ressemblent, en ce sens qu'ils peuvent être liés les uns aux autres par des isomorphismes polynomiaux temporels [1].

Je suis intéressé par une version plus fine du "temps polynomial", c'est-à-dire si nous utilisons des réductions paramétrées.

Un problème paramétré est un sous-ensemble de , où Σ est un alphabet fini et Z ≥ 0 est l'ensemble des nombres non négatifs. Une instance d'un problème paramétré est donc une paire ( I , k ) , où k est le paramètre.$Σ^∗ × Z \geq 0$$Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

Un problème paramétré est à paramètre fixe réductible à un problème paramétré π 2 s'il existe des fonctions f , g : Z ≥ 0 → Z ≥ 0 , Φ : Σ ∗ × Z ≥ 0 → Σ ∗ et un polynôme p ( · ) de telle sorte que pour toute instance ( I , k ) de π 1 , ( Φ ( I $π_1$$π_2$$f$$g$$Z≥0 → Z≥0$$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$$p(·)$$(I, k)$$π_1$ est une instance de π 2 calculable dans le temps f ( k ) · p ( | I | ) et ( I , k ) ∈ π 1 si et seulement si ( Φ ( I , k ) , g ( k ) ) ∈ π$(Φ(I, k), g(k))$$π_2$$f(k) · p(|I|)$$(I, k) ∈ π_1$$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$. Deux problèmes paramétrés sont équivalents à paramètre fixe s'ils sont réductibles l'un à l'autre.

Certains problèmes NP-complets sont FPT, par exemple, la version de décision du problème de couverture de sommets est NP-Complète, elle a un algorithme [2]. Trouver de meilleures réductions de paramètres fixes d'un problème FPT qui est NP-complet peut conduire à un meilleur algorithme, par exemple, en invoquant une réduction à une "version garantie ci-dessus" du problème Multiway Cut peut conduire à un algorithme dans le temps O ∗ ( 4 k ) pour le problème AGVC (Above Guarantee Vertex Cover) [3], qui est meilleur que l' algorithme original O ∗ ( 15 k ) [4].$O(1.2738^k + kn)$$O^*(4^k)$$O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Cette conjecture est-elle vraie?

[1] Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), «Sur les isomorphismes et la densité de NP et d'autres ensembles complets», SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj et G. Xia, Amélioration des limites supérieures pour la couverture des sommets, Theor.Comput. Sei., 411 (2010), pp. 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk et JO Wojtaszczyk, On multiway cut paramétré au-dessus des limites inférieures, dans IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan et V. Raman, Paramétrer les valeurs garanties ci-dessus: Maxsat et maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), pp. 335-354.

Serge Gaspers a déjà mentionné pourquoi votre conjecture est trivialement vraie.
Cependant, on peut en fait obtenir des isomorphismes à paramètres fixes à temps polynomial ,
ce que je réalise maintenant n'est pas beaucoup moins trivial, car il s'applique à chaque
paire ordonnée de problèmes FPT non triviaux avec une réduction au sens ordinaire.

$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$$\:$$k$$\:$ Par conséquent, il satisfait votre condition de paramètre fixe.