Amusez-vous avec Ackermann inverse

La fonction inverse d'Ackermann se produit souvent lors de l'analyse des algorithmes. Une excellente présentation en est ici: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann . et [Notation: [x] signifie que nous arrondissons x à l'entier le plus proche, tandis que log ∗ est la fonction de journal itéré discutée ici: http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

Ma question est: Quelle est la fonction

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ Clairement

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ . Quelles limites plus strictes peut-on donner à

k (n)

$k(n)$ ? Est-ce que

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$ ?

ds.algorithms ds.data-structures bounds Dana Moshkovitz
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Je sais pourquoi , mais pourriez-vous expliquer pourquoi ?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

jbapple

Ok, édité en non controversé .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: J'ai approximé les définitions en utilisant la hiérarchie Ackermann que je connais: et . Avec une définition typique des fonctions d'Ackermann, . Donc si alors , c'est-à-dire . (J'espère que je n'ai pas fait d'erreur là-dedans.)

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

Sylvain

@DanaMoshkovitz: pour clarifier, j'utilise et , qui croît légèrement plus vite que votre définition, par exemple au lieu de . Cela ne devrait cependant pas avoir beaucoup de conséquences: et sont à peu près la même chose.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

Sylvain

@DanaMoshkovitz: Je ne vois pas pourquoi . Pour une infinité de valeurs de vous aurez , c'est-à-dire chaque fois que ; parce que croît rapidement, vous avez de plus en plus de telles séquences. Avec vos définitions, il est même possible d'avoir : où mais .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

Sylvain

Réponses:

Soit l'inverse de . . Je prétends que . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

Puisque , et depuis , . Par conséquent, . $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

Considérons maintenant la valeur de . Par définition de , il s'agit de . Nous savons que , donc . Je prétends que . . Maintenant , donc . Puisque , , donc . Ainsi, $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ .

Donc, nous avons , donc et sont essentiellement égaux. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

jbapple
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Et permettez-moi d'ajouter que toutes ces fonctions ne sont que différentes façons compliquées d'écrire le nombre 4.

Sariel Har-Peled

Ceci est une erreur; voir les commentaires.

Une fonction très proche de celle-ci était appelée " " et utilisée dans "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences, and the Deque Conjecture" de Pettie , dans laquelle il montrait que " deque operations [in a splay tree] prend uniquement le temps , où est le nombre minimal d'applications de la fonction Ackermann inverse mappant à une constante. " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

Cette fonction a une croissance très lente et une croissance plus lente que . Considérez la fonction $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

Cette fonction croît à peu près aussi rapidement que , et croît donc plus lentement que . Je vais maintenant évaluer et sur : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~Puisque , croît beaucoup plus rapidement que . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

jbapple
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Quelle est la relation entre alpha ^ * et k (n)? (notez que dans la définition de k (n) j'utilise la notation alpha_k (n) définie dans le lien que j'avais dans la question)

Dana Moshkovitz

Oh, je suis désolé, j'ai lu votre comme !

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

jbapple