Existe-t-il un ensemble de portes unitaires finies qui peut réaliser exactement tous les QFT d'ordre ?

J'examine des idées sur les algorithmes quantiques exacts. En particulier, je considère les limitations probables de , qui se compose de langages exactement décidables par des familles de circuits quantiques uniformes en temps polytemporaire sur un ensemble arbitraire de portes finies. $\mathsf{EQP}$

La transformée de Fourier quantique (QFT), donnée par est une partie célèbre de la théorie du calcul quantique. Dans le cas de , il existe une décomposition bien connue de en Hadamards, portes SWAP,

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] pour ω = e^{2 π je / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = ré je une g (1, 1, 1, e^{2 π je / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$ , qui est dû à Coppersmith. Si

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ doit contenir des problèmes, on peut espérer que l'un d'eux utilisera les QFT

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ , auquel cas on aurait besoin de la famille d'opérations

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ pour se décomposer en un ensemble de portes fini particulier. En utilisant la décomposition récursive du QFT, cela équivaut à une décomposition de toutes les portes

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$ en un seul ensemble de portes finies.

De toute évidence, par le théorème de Solovay – Kitaev, nous pouvons approximer les portes $F_{2^n}$ ou $\mathrm{CZ}_{2^n}$ arbitrairement bien avec tout ensemble de portes approximativement universel qui est fermé sous des inverses. Ce que j'aimerais savoir, c'est s'il existe un jeu de portes fini qui peut exactement réaliser ces familles d'opérateurs - ou, ce que je soupçonne est plus probable, s'il y a une preuve qu'il n'existe pas de jeu de portes fini.

Question. Existe-t-il soit une décomposition de $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$ tant que famille de circuits uniformes dans le temps sur un ensemble de portes fini, ou une preuve que cela est impossible?

quantum-computing circuit-families Niel de Beaudrap
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Non, il n'y a pas de décomposition de toute la famille en un seul ensemble de portes fini. Voici pourquoi. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

Les QFT n'impliquent que des coefficients sur , la fermeture algébrique complexe des nombres rationnels. Par analogie avec [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ], si nous impliquions des portes qui comprenaient des nombres transcendantaux, nous pourrions choisir un ensemble minimal de transcendantaux et décrire les coefficients de porte essentiellement sous forme de fonctions rationnelles . Pour obtenir le QFT en tant que produit de telles portes, nous devons faire en sorte que tous les composants transcendantaux soient annulés (une chose similaire doit se produire pour garantir que chacune des portes est unitaire); mais nous pourrions aussi bien remplacer tous les transcendantaux par $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ , de sorte que tous les coefficients sont algébriques. Nous nous limitons donc aux ensembles de portes algébriques sans perte de généralité.

Les coefficients d'une porte finie définie sur peuvent tous être contenus dans une extension de degré fini de , que l'on peut construire en étendant par ces mêmes coefficients. Cependant, les portes ont évidemment des coefficients appartenant à des extensions de champ sur de degré , c'est-à-dire de degré illimité. Ainsi, la famille de QFT d'ordre ne se décompose pas en un ensemble de portes fini. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

En corollaire, nous ne pouvons pas espérer avoir d'algorithmes dans qui reposent sur des QFT sur des anneaux cycliques de taille illimitée - notez que le même problème se produit pour toute famille de circuits qui pourraient utiliser des QFT d'ordre arbitraire. $\mathsf{EQP}$

Niel de Beaudrap
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