Représenter la fonction booléenne par un polynôme

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Supposons que nous ayons une fonction booléenne de . Il est clair qu'un vrai polynôme multivarié tel que sur peut être multilinéaire. Quelles sont les classes intéressantes de fonctions booléennes pour lesquelles le degré minimal de $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ est connu? Avons-nous des exemples concrets?

boolean-functions T ....
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Connexe: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

Andrej Bauer

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Si vous ne le connaissez pas, il y a beaucoup de travail sur le "degré approximatif", qui demande, quel est le degré minimal d'un polynôme qui "se rapproche" de

? Je n'en sais pas assez pour donner des références spécifiques mais d'autres le feraient.

f

$f$

usul

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$n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

$d$ $d2^d$ $d = 1$

Yuval Filmus
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Ceci est un point utile. Quelle est une bonne référence pour ce sujet?

T ....

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Vous pouvez jeter un œil au récent livre de Ryan O'Donnell, Analyse des fonctions booléennes.

Yuval Filmus

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Les classes de fonctions booléennes avec présentation multilinéaire unique contiennent

Fonctions pseudo-booléennes sur les réels (Théorème 1.34 [1])
$[0,1]^n$

Contexte

"Chaque fonction booléenne peut être représentée par une forme normale disjonctive et par une forme normale conjonctive." (Théorème 1.4 (p.16 [1]))

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

et leurs applications contiennent

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(circuits) Complexité du calcul polynomial multi-linéaire Fonction booléenne
(analyse de Fourier) Limites inférieures pour les polynômes calculant les fonctions booléennes

Références

[1] Théorie, algorithmes et applications des fonctions booléennes (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

hhh
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Oui évidemment. Maintenant, comment cela répond-il à la question?

Emil Jeřábek

Représenter la fonction booléenne par un polynôme

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