Donne une approche à la «détermination discrète de Borel»

Permettez-moi de résumer ma compréhension de la motivation de l'approche. Soyez averti que je suis assez nouveau dans le concept de la détermination de Borel, et pas du tout un expert en théorie des ensembles. Toutes les erreurs sont les miennes. De plus, je ne suis pas sûr que lire ceci soit bien mieux que de lire les messages de Gowers.

Je pense que ce que Gowers a à l'esprit n'est pas un analogue finitaire du théorème de la détermination de Borel, mais un analogue finitaire des éléments suivants: la détermination de Borel découle de ZFC, tandis que la détermination des jeux analytiques nécessite l'existence de cardinaux mesurables (essentiellement). Je décrirai très brièvement de quels jeux nous parlons et ce qu'est la détermination de Borel, puis je lierai cela à l'approche de la démonstration des limites inférieures. L'idée de très haut niveau est de considérer la propriété "permet à un analogue finitaire d'une preuve de la détermination de Borel" de fonctionner comme une propriété qui peut séparer P \ poly de NP.

Nous pensons aux jeux où deux joueurs I et II jouent à tour de rôle un entier. Le jeu continue indéfiniment, ils produisent donc une séquence . Le jeu est défini par un ensemble gagnant (c'est-à-dire un ensemble de séquences). Si alors le joueur I gagne, sinon le joueur II gagne. $x= x_1, x_2, \ldots$ $A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$

Un jeu est déterminé si le joueur I ou le joueur II a une stratégie gagnante: un moyen de décider d'un coup suivant basé sur le jeu jusqu'à présent qui garantit une victoire. Que tous les jeux soient déterminés se révèle avoir des liens intimes avec les fondements de la théorie des ensembles (ils ne le sont pas, si vous croyez en l'axiome du choix). Dans tous les cas, un exemple simple lorsque les jeux sont en fait déterminés est lorsque est ouvert dans la topologie du produit sur , ce qui est une façon élégante de dire que l'appartenance peut être décidée uniquement sur la base d'un nombre fini d'éléments de $A$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$ $x$ . Par exemple, le jeu dans lequel la joueuse que je gagne si elle est la première à jouer un numéro pair est ouvert. Un autre exemple simple de jeux déterminés est les jeux fermés, c'est-à-dire les jeux où peut être décidé sur la base d'une sous-séquence finie de . Les jeux fermés sont des jeux ouverts avec les rôles des joueurs inversés. $x \not \in A$ $x$

Nous pouvons maintenant en venir à la détermination de Borel, et juste après j'essaierai de lier cela aux circuits et à la complexité. Un ensemble Borel est un ensemble qui peut être dérivé d'ensembles ouverts et fermés en appliquant à plusieurs reprises un nombre dénombrable d'unions et d'intersections. Vous devez considérer les ensembles ouverts et fermés comme vos ensembles de base, et les ensembles Borel comme dérivés d'ensembles de base en utilisant plusieurs niveaux d'un "petit" (= dénombrable) nombre d'opérations simples dans chaque niveau. Il s'avère que vous pouvez prouver dans ZFC que les ensembles Borel sont déterminés, et il y a un sens précis dans lequel c'est le mieux que vous puissiez faire.

L'analogie que je pense que Gowers tire ici est que les ensembles Borel sont comme de petits circuits. Dans le monde fini, on remplace "l'univers" par l'hypercube . Nos ensembles de base deviennent des facettes du cube: pour ; ils sont équivalents aux littéraux et $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $\{0,1\}^n$ $\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$ $b \in \{0,1\}$ $x_i$ $\bar{x}_i$ . Vous pouvez écrire ET et OU des littéraux en tant qu'unions et intersections de tels ensembles. Donc, pour une fonction booléenne , pouvant produire $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ partir deunions et intersections d'ensembles de base équivaut à avoir uncircuit detaillepour. $f^{-1}(1)$ $s$ $s$ $f$

Permettez-moi de dire un mot sur les ensembles analytiques. Un ensemble analytique est une projection d'un ensemble de Borel: si est un ensemble de Borel, alors $S \subseteq X \times Y$ est analytique. Par notre correspondance entre les ensembles Borel et les fonctions de petite complexité des circuits, les ensembles analytiques sont comme NP / poly. $T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Maintenant, il s'inspire d'une preuve de la détermination de Borel pour trouver une propriété (au sens de Razborov-Rudich) pour distinguer les fonctions de complexité de petit circuit des fonctions de grande complexité de circuit. L'espoir est bien sûr que la propriété évite la barrière des preuves naturelles.

La preuve de Martin de la détermination de Borel utilise une approche conceptuellement très soignée: Martin montre que chaque jeu Borel est l'image d'un jeu ouvert (en fait clopen) sous une carte , de sorte que $\pi$ $\pi$ préserve les stratégies gagnantes - appelons cela un "ascenseur". Donc, ce que Martin montre, c'est que chaque jeu Borel est l'image d'un jeu dans lequel le jeu gagnant est un jeu de base. Étant donné que les jeux ouverts sont faciles à déterminer, cela prouve la détermination de Borel. La preuve est inductive, le cas de base montrant que les jeux fermés peuvent être levés. La partie importante est que chaque étape de l'induction "fait exploser" l'univers: se débarrasser d'un niveau de la construction de l'ensemble Borel nécessite de passer d'un jeu à un jeu sur un univers qui est essentiellement le jeu de puissance de l'univers du jeu original . Fait intéressant, cela est inévitable: les ensembles Borel qui nécessitent plus de niveaux à définir ne peuvent être transférés qu'aux jeux sur des univers beaucoup plus grands. Les ensembles analytiques nécessitent des univers si grands que leur existence nécessite de grands axiomes cardinaux.

S'inspirant de cela, Gowers formule un jeu dans lequel le joueur I et le joueur II doivent conjointement spécifier quelques ; le joueur I gagne si , sinon le joueur II gagne. Le joueur I peut spécifier la première moitié des coordonnées et le joueur II la seconde moitié. L'intuition est maintenant que les jeux correspondant à de simples $x$ $f(x) = 1$ , c'est-à-dire à faible complexité de circuit, devraient permettre un ascenseur de style Martin vers un univers relativement petit, tout comme les jeux Borel. D'autre part aléatoire devrait exigeruniversdouble dimension exponentielle, et jeespère NP-dur devrait ainsi, parce qu'ils correspondent àjeux analytiques. $f$ $f$ $f$ $f$

$y \in U$ $U$ $2^n$ $y$

$f$

Sasho Nikolov
la source

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

Merci @Josh! Apparemment, cette analogie était une intuition derrière la preuve que la parité n'est pas dans AC0.

Sasho Nikolov

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