Dureté des séparateurs de sommet

Pour un graphe donné , le problème du séparateur demande s'il existe un ensemble de sommets ou d'arêtes de petite cardinalité (ou poids) dont la suppression divise G en deux graphes disjoints de tailles approximativement égales. C'est ce qu'on appelle le problème du séparateur de sommets lorsque l'ensemble supprimé est un ensemble de sommets et le problème du séparateur d'arêtes lorsqu'il s'agit d'un ensemble d'arêtes. Les deux problèmes sont NP-complets pour les graphiques généraux non pondérés. Quelle est la dureté la plus connue pour approximer le séparateur de sommets? Un PTAS est-il exclu? Quels sont les résultats de dureté les plus connus dans le réglage dirigé?$G$$G$

Correction : Les liens et réponses suivants ne m'ont pas aidé parce que je n'ai pas posé ma question correctement. Ma question est liée au théorème suivant de Leighton-Rao:

Théorème : Il existe un algorithme polynomial temporel qui, étant donné un graphe et un ensemble W ⊆ V , trouve un $G(V,E)$$W \subseteq V$Séparateur à 3 sommetsS⊆VdeWenGde tailleO(w.Logn), oùwest la taille minimale de$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$ séparateur de -vertex deWenG.$\frac{1}{2}$$W$$G$

Étant donné un graphe et un ensemble W ⊆ V , je veux trouver un séparateur δ -vertex (où $G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$est une constante) de taillew, oùwest la taille minimale de$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$ séparateur de -vertex deWenG. Quelle est la dureté la plus connue de ce problème? Le théorème ci-dessus donne uneapproximationO(logn)pour ce problème.$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

Notez que j'autorise une explosion à facteur constant dans la taille des composants résultants après avoir retiré le séparateur, mais je veux minimiser la taille du séparateur lui-même. Les liens mentionnés dans les commentaires pointent vers un séparateur de sommet b minimum , dans lequel nous insistons pour que la taille des composants résultants soit au maximum .$|V|/2$

Dans le réglage des bords, le problème auquel vous faites référence est le problème de la bissection, et la taille d'un tel bord minimum est appelée largeur de bissection. Il y a une tonne de recherches sur ce problème, et la meilleure approximation connue du problème est par Racke .$O(\log n)$

Un bon examen des travaux connus sur ce problème (qui se connecte aux coupes les plus rares, aux métriques de propagation et même à la conjecture des jeux uniques) se trouve dans ce récent article sur les généralisations de la largeur de bissection par Krauthgamer, Naor et Schwartz.

$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$de Leighton et Rao; ils l'ont fait pour le cas de bord. Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev a utilisé le résultat pour obtenir une limite similaire pour la coupe dirigée la plus clairsemée (si l'on s'intéresse aux coupes bipartition des sommets). Feige-Hajiaghayi-Lee a en même temps obtenu à nouveau une limite similaire via ARV pour les séparateurs de sommets (et a également souligné que la largeur d'arbre peut être approximée avec le même facteur). Il convient de noter qu'il existe une autre notion de coupe la plus éparse dans les graphiques dirigés pour laquelle Chuzhoy-Khanna a montré des résultats de dureté dans le cas non uniforme, mais je ne suis pas sûr du cas uniforme. Je pense que les résultats de dureté super-constante sont connus pour les coupes les plus éparses (uniformes) sous UGC mais je ne suis pas sûr.