Combinateurs pour les fonctions récursives primitives

Il est bien connu que les combinateurs S et K sont Turing Complete. Existe-t-il des combinateurs suffisants pour produire (uniquement) les fonctions récursives primitives?

Oui, mais vous devez considérer les combinateurs typés. Autrement dit, vous devez donner à et K les schémas de types suivants: K : A → B → A S : ( A → B → C ) → ( A → B ) → ( A → C ) où A , B et C sont des méta-variables qui peuvent être instanciées à n'importe quel type concret à chaque utilisation.$S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ $A, B$$C$

Ensuite, vous voulez ajouter le type de nombres naturels à la langue des types, et ajouter les combinateurs suivants: z : N s u c c : N → N i t e r : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

Les règles d'égalité pour les ajouts sont les suivantes:

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$