Une extension de l'opérateur de bruit

Dans un problème sur lequel je travaille actuellement, une extension de l'opérateur de bruit survient naturellement et j'étais curieux de savoir s'il y avait eu des travaux antérieurs. Permettez-moi d'abord de réviser l'opérateur de bruit de base $T_{\varepsilon}$ sur les fonctions booléennes à valeur réelle. Étant donné une fonction $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ et $\varepsilon$ , $p$ st $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ , nous définissons $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ comme $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ est la distribution sur$y$ obtenue en fixant chaque bit d'unvecteur à$n$ bits à$1$ indépendamment avec une probabilité$p$ et$0$ sinon. De manière équivalente, nous pouvons considérer ce processus comme retournant chaque bit de$x$ avec une probabilité indépendante$p$ . Maintenant, cet opérateur de bruit a de nombreuses propriétés utiles, y compris être multiplicatif$T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ et avoir de belles valeurs propres et vecteurs propres ($T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ où$\chi_S$ appartient à la base de parité).

Permettez-moi maintenant de définir mon extension de , que je désigne par R ( p 1 , p 2 ) . R ( p 1 , p 2 ) → R est donné par R ( p 1 , p 2 ) f ( x ) = E y ∼ μ p , x [ f ( x + y ) ] . Mais ici, notre distribution $T_\varepsilon$$R_{(p_1,p_2)}$$R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$$R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ est tel que nous inversons les1bits dexà0avec probabilité p 1 et0bits dexà1avec probabilité p 2 . ( μ p , x est maintenant clairement une distribution qui dépend duxoù la fonction est évaluée, et si p 1 = p 2 alors R ( p 1 , p 2 ) se réduit à l'opérateur de bruit `` régulier ''.)$\mu_{p,x}$$1$$x$$0$$p_1$$0$$x$$1$$p_2$$\mu_{p,x}$$x$$p_1 = p_2$$R_{(p_1,p_2)}$

Je me demandais si cet opérateur déjà été bien étudié quelque part dans la littérature? Ou ses propriétés de base sont-elles évidentes? Je commence juste par l'analyse booléenne, donc cela pourrait être simple pour quelqu'un plus familier avec la théorie que moi. En particulier, je voudrais savoir si les vecteurs propres et les valeurs propres ont une belle caractérisation, ou s'il existe une propriété multiplicative.$R_{(p_1,p_2)}$

Je répondrai à la deuxième partie de la question.

I. Valeurs propres et fonctions propres

Considérons d'abord le cas unidimensionnel . Il est facile de vérifier que l'opérateur R p 1 , p 2 a deux fonctions propres: 1 et ξ ( x ) = ( p 1 + p 2 ) x - p 1 = { - p 1 ,  si  x = 0 , p 2 ,  si  x = 1. avec des valeurs propres 1 et$n=1$$R_{p_1,p_2}$$1$

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ $1$ , respectivement.$1-p_1 - p_2$

Considérons maintenant le cas général. Pour , soit ξ S ( x ) = ∏ $S\subset \{1,\dots,n\}$. Observons que ξ S est une fonction propre de R p 1 , p 2 . En effet puisque toutes les variables x i sont indépendantes, nous avons R p 1 , p 2 ( ξ ( x ) $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$$\xi_S$$R_{p_1,p_2}$$x_i$

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

On obtient que est une fonction propre de R p 1 , p 2 de valeur propre ( 1 - p 1 - p 2 ) | S | pour tout S ⊂ { 1 , … , n } . Puisque les fonctions ξ S ( x ) couvrent tout l'espace, R p 1 , p $\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$(1-p_1-p_2)^{|S|}$$S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$n'a pas d'autres fonctions propres (qui ne sont pas des combinaisons linéaires de ).$\xi_S(x)$

II. Propriété multiplicative

En général, la «propriété multiplicative» n'est pas valable pour puisque la base propre de R p 1 , p 2 dépend de p 1 et p 2 . Cependant, nous avons R 2 p 1 , p 2 = R p ′ 1 , p ′ 2 , où p ′ 1 = 2 p 1 - ( p 1 + $R_{p_1,p_2}$$R_{p_1,p_2}$$p_1$$p_2$

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ et p ′ 2 = 2 p 2 - ( p 1 + p 2 ) p 2 . Pour vérifier cela, notons tout d'abord que R p 1 , p 2 et R p ' 1 , p ' 2 ont le même ensemble de fonctions propres { ξ S } . On a, R 2 p 1 , p 2 ( ξ S$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$$R_{p_1,p_2}$$R_{p_1',p_2'}$$\{\xi_S\}$ puisque 1 - p ′ 1 - p ′ $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$. Consider the operator

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ It maps every multilinear polynomial $f$ to a multilinear polynomial $A[f]$. We have, $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ where $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$. Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$.