La norme de trace de la différence de deux matrices de densité étant une implique-t-elle que ces deux matrices de densité peuvent être diagonalisables simultanément?

Je pense que la réponse à cette question est bien connue; mais, malheureusement, je ne sais pas.

En informatique quantique, nous savons que les états mixtes sont représentés par des matrices de densité. Et la norme de trace de la différence de deux matrices de densité caractérise la distinction des deux états mixtes correspondants. Ici, la définition de la norme de trace est la somme de toutes les valeurs propres de la matrice de densité, avec un facteur multiplicatif supplémentaire 1/2 (conformément à la différence statistique de deux distributions). Il est bien connu que, lorsque la différence de deux matrices de densité est une, alors les deux états mixtes correspondants sont totalement distinguables, tandis que lorsque la différence est nulle, les deux états mixtes sont totalement indiscernables.

Ma question est la suivante: la norme de trace de la différence de deux matrices de densité étant une implique-t-elle que ces deux matrices de densité peuvent être simultanément diagonalisables? Si tel est le cas, prendre la mesure optimale pour distinguer ces deux états mixtes se comportera comme pour distinguer deux distributions sur le même domaine avec un support disjoint .

Voici une façon de prouver le fait que vous êtes intéressé.

Supposons que et ρ 1 sont des matrices de densité. Comme toute autre matrice hermitienne, il est possible d'exprimer la différence ρ 0 - ρ 1 comme ρ 0 - ρ 1 = P 0 - P 1 pour P 0 et P 1 étant semi-définis positifs et ayant des images orthogonales. (Parfois, cela s'appelle une décomposition de Jordan-Hahn; elle est unique et facilement obtenue à partir d'une décomposition spectrale de ρ 0 - ρ 1. ) Notez que le fait que $\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$ et P 1 ont des images orthogonales, ce qui signifie qu'elles sont simultanément diagonalisables, ce qui, selon moi, est la propriété qui vous intéresse.$P_0$$P_1$

La norme de trace de la différence (telle que vous la définissez, avec le facteur multiplicatif 1/2), est donnée par ‖ ρ 0 - ρ 1 ‖ tr = $\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Oui. Si la distance de trace de deux matrices de densité est égale à 1, alors elles ont des supports orthogonaux, et donc elles sont diagonalisables simultanément.