Sur l'entropie d'une somme

Je cherche une borne sur l'entropie de la somme de deux variables aléatoires discrètes indépendantes X et Y . Naturellement, H ( X + Y ) ≤ H ( X ) + H ( Y ) ( ∗ ) Cependant, appliqué à la somme de n variables aléatoires Bernoulli indépendantes Z 1 , … , Z n , cela donne H ( Z 1$H(X+Y)$$X$$Y$

En bref, la borne dépasse largement dans cette situation. En parcourant ce billet de blog , je suppose que toutes sortes de limites sur H ( X + Y ) sont possibles; Existe-t-il une limite qui donne les bonnes asymptotiques (ou, du moins, des asymptotiques plus raisonnables) lorsqu'elle est appliquée à plusieurs reprises à la somme des variables aléatoires de Bernoulli?$(*)$$H(X+Y)$

$X$$A$$2^{H(X)}$$Y$$B$$2^{H(Y)}$

$|A+B|$$|A|$$|B|$$|A+B| \sim |A|\cdot |B|$$H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$$A$$B$$|A+B|$$(G,+)$$|A+B|=O(|A|+|B|)$$A,B$$G$

$A$$[a..b]$$B$$[0..c]$$(1/2)\log n$$c=1$$a=0$$b=k$$k=1,...,n-1$$a \sim k-\sqrt{k}$$b \sim k+ \sqrt{k}$$|A+B| \leq |A|+c$

$n$$Z_1,Z_2,...,Z_n$$p$$Z_1+Z_2+...+Z_n$$np$$np$$\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

Vous pourriez peut-être utiliser l'équation:

Cela ressemblerait à un terme que vous avez mentionné dans les commentaires, malheureusement je ne connais pas de résultats sur la cardinalité des termes négatifs ou des limites perspicaces sur eux.