Quel est le pire des cas de l'algorithme de triangulation incrémentielle à delaunay randomisé?

Je sais que le temps d'exécution le plus défavorable attendu de l'algorithme de triangulation incrémentielle delaunay randomisé (tel que donné dans Computational Geometry ) est . Il y a un exercice qui implique que le pire temps d'exécution est . J'ai essayé de construire un exemple où c'est réellement le cas mais qui n'a pas réussi jusqu'à présent. $\mathcal O(n \log n)$ $\Omega(n^2)$

L'une de ces tentatives consistait à organiser et à ordonner l'ensemble de points de telle sorte que, lors de l'ajout d'un point à l'étape , environ bords soient créés. $p_r$ $r$ $r-1$

Une autre approche pourrait impliquer la structure de localisation de points: Essayez de disposer les points de telle sorte que le chemin emprunté dans la structure de localisation de points pour localiser un point à l'étape soit aussi long que possible. $p_r$ $r$

Pourtant, je ne sais pas laquelle de ces deux approches est correcte (le cas échéant) et je serais heureux de quelques conseils.

ds.algorithms randomized-algorithms delaunay-triangulation worst-case Tedil
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Essayez de mettre tous les points sur la courbe

pour un bien choisi

y = x^{r}

$y = x^r$

r

$r$

Peter Shor

La première approche peut être formalisée comme suit.

Soit un ensemble arbitraire de points sur la branche positive de la parabole ; c'est-à-dire pour certains nombres réels positifs $P$ $n$ $y=x^2$

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ . Sans perte de généralité, supposons que ces points sont indexés dans l'ordre croissant:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$

Revendication: Dans la triangulation de Delaunay de , le point le plus à gauche est voisin de chaque autre point . $P$ $(t_1, t_1^2)$ $P$

Cette affirmation implique que l'ajout d'un nouveau point à avec ajoute nouveaux bords à la triangulation de Delaunay. Ainsi, par induction, si nous contractons progressivement la triangulation de Delaunay de en insérant les points dans l'ordre de droite à gauche , le nombre total d'arêtes de Delaunay créées est . $(t_0, t_0^2)$ $P$ $0 < t_0 < t_1$ $n$ $P$ $\Omega(n^2)$

$0<a<b<c$ $C(a,b,c)$ $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$

$C(a,b,c)$ $(t,t^2)$ $a<t<b$ $c<t$

$(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$

| \begin{matrix} 1 & une & b & {une}^{2} + b^{2} \\ 1 & c & ré & c^{2} + {ré}^{2} \\ 1 & e & F & e^{2} + F^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

| \begin{matrix} 1 & une & {une}^{2} & {une}^{2} + {une}^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$

4 \times 4

$4\times4$

\begin{matrix} (*) & (une - b) (une - c) (b - c) (une - t) (b - t) (c - t) (une + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

t = a

$t=a$

t = b

$t=b$

t = c

$t=c$

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$

0 < a < b < c

$0<a<b<c$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$

b < t < c

$b<t<c$

◻

$\qquad\Box$

Jeffε
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Merci, même si je ne voulais en fait qu'un indice (sans la preuve);)

Tedil

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