Distinguer entre

Etant donné un état quantique choisi uniformément au hasard parmi un ensemble de N états mixtes ρ 1 . . . ρ N , quelle est la probabilité moyenne maximale d'identifier correctement A ?$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

Ce problème peut être transformé en un problème de distinction à deux états en considérant le problème de la distinction de ρ B = $\rho_A$.$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Je sais que pour deux états quantiques, le problème a une bonne solution en termes de distance de trace entre les états lorsque vous minimisez la probabilité d'erreur maximale plutôt que la minimisation de la probabilité d'erreur moyenne, et j'espérais qu'il pourrait y avoir quelque chose de similaire pour ce cas. Il est bien sûr possible d'écrire la probabilité en termes d'optimisation sur POVM, mais j'espère quelque chose où l'optimisation a déjà été effectuée.

Je sais qu'il existe une énorme littérature sur la distinction des états quantiques, et j'ai lu beaucoup d'articles au cours des derniers jours en essayant de trouver la réponse à cette question, mais j'ai du mal à trouver la réponse à cette question. variation particulière du problème. J'espère que quelqu'un qui connaît mieux la littérature peut me faire gagner du temps.

À strictement parler, je n'ai pas besoin de la probabilité exacte, une bonne limite supérieure ferait l'affaire. Cependant, la différence entre n'importe quel état et l'état mélangé au maximum est assez petite, donc la limite devrait être utile dans cette limite.

Comme vous le mentionnez, il est possible de déterminer numériquement la probabilité de réussite moyenne optimale, ce qui peut être fait efficacement via une programmation semi-définie (voir par exemple cet article d'Eldar, Megretski et Verghese ou ces notes de conférence de John Watrous), mais aucune expression de forme fermée n'est connu.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$