Formulaire Master Equations et Operator Sum

Je suis plus un gars de l'optique quantique qu'un gars de l'information quantique, et je m'occupe principalement des équations principales. Je suis intéressé par la forme de somme d'opérateur, et j'aimerais dériver les erreurs dans cette forme pour un petit système quantique que je simule.

Le hic: Le système quantique est entraîné par un champ externe (classique) modélisé avec une fonction sinusoïdale, et les taux d'amortissement sont faibles, donc je ne peux pas faire une approximation d'onde rotative pour éliminer cette dépendance temporelle. Étant donné que je dois résoudre l'équation principale numériquement par intégration, et le résultat de chaque intégration au temps n'est pas une information suffisante pour comprendre ces erreurs, et j'ai besoin de faire un travail pour récupérer la matrice de super-opérateur qui a opéré sur une densité vectorisée matrice. c'est-à-dire que je donne à l'équation principale une matrice de densité vectorisée avec une seule entrée de 1 et le reste zéro, et je construis la matrice comme ça pendant un temps particulier τ . Suis-je sur la bonne voie ici (bilan de santé)? Plus explicitement, si v e c$t$$\tau$ est la forme vectorisée (donc c'est un vecteur colonne) d'une matrice de densité avec une seule entrée de 1 en position i , j , à t = 0 qui a évolué vers le temps τ , puis une matrice pour prendre la forme vectorielle de la matrice de densité de t = 0 à t = τ est donné comme M = ∑ i , j v e c ( ρ i j , t = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$ .$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

La question: étant donné ce super-opérateur qui fait $\mathbf{M}$ , comment puis-je obtenir des opérateurs de Krauss pour l'équivalent somme d'opérateurs de M qui sont sous une forme utile? c'est-à-dire que le système en question est un qubit ou un qutrit et un autre qubit ou qutrit. J'aimerais pouvoir faire la somme des opérateurs sous forme de produits tensoriels de matrices de spin sur chaque canal si possible.$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

Question secondaire: est-il une matrice Choi?$\mathbf{M}$

Note finale: J'ai accordé l'acceptation à Pinja, car j'ai utilisé le papier suggéré par Pinja. J'ai moi-même fourni une réponse ci-dessous qui remplit les détails.

J'ai travaillé sur un problème très similaire sur ma thèse de maîtrise, dans laquelle j'ai étudié la dynamique non markovienne d'un qubit entraîné dans un environnement dissipatif. Mon intérêt était de vérifier que l'équation principale que j'avais obtenue était complètement positive, mais ce n'est qu'un côté de votre problème. La question s'est avérée très non triviale si aucune RWA n'est faite, mais j'ai pu obtenir des résultats en utilisant la réf. [ J Mod. Opter. 54, 1695 (2007) ] et exploitant le fait que le qubit est faiblement couplé à l'environnement. Je vais battre mon tambour et donner également la réf. à un article où je présente certains de ces résultats, [P. Haikka et S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , vous pouvez le trouver utile.

Les références données en réponse à la mécanique quantique en tant que processus de Markov  - en particulier les notes en ligne de Carlton Caves " Cartes complètement positives, cartes positives et formulaire Lindblad " - examinent des idées physiques et des outils mathématiques qui sont utiles pour répondre à la question.

$M$$M$$M$$M$ est donné numériquement dans son intégralité.

$M$

Si l'on pouvait répondre efficacement à de telles questions en «tournant une manivelle algorithmique», alors la physique quantique serait un sujet beaucoup moins intéressant! :)

Je pense que ce que vous cherchez peut-être: la matrice de densité réelle . Il vous donne une recette pour la conversion entre différentes représentations de super-opérateurs (y compris en utilisant une base de produits tensoriels de Paulis). Une expérience détaillée de tomographie par processus quantique utilisant les résultats est ici: Tomographie par processus quantique de la transformée de Fourier quantique . Plus généralement, Havel a également dérivé des algorithmes pour convertir en représentations Kraus minimales ici: Procédures de conversion entre Lindblad, Kraus et les représentations matricielles des semi-groupes dynamiques quantiques .

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

Comme l'a noté Pinja, un article d'Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) a été particulièrement utile. Le document est très détaillé, et je me suis finalement assis aujourd'hui pour l'examiner correctement. À titre d'exemple de problème, j'ai choisi deux qubits avec une interaction d'échange pour vérifier ce qui est une version minimale de ce que j'envisage. Pour commencer, l'équation principale est donnée par

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

Si nous traitons l'équation principale comme une matrice agissant sur un opérateur de densité vectorisé comme discuté dans la question, alors cela peut être exprimé comme

ce qui permet à L d'être dérivé dans une seule équation matricielle, mais cela devient un peu hors sujet.

$L$$F$$\phi$

$F$$S$

Enfin, la partie merveilleuse.

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Cela fonctionne dans le cas indépendant du temps pour les quits et les qutrits comme prévu. Je dois vérifier que cela fonctionne en cas de dépendance temporelle.