Dimension VC des sphères en 3 dimensions

Je recherche la dimension VC du système d'ensemble suivant.

Univers tel que . Dans le système d'ensemble chaque ensemble correspond à une sphère dans sorte que l'ensemble contient un élément dans si et seulement si la sphère correspondante le contient dans .$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Des détails que je connais déjà.

1. La dimension VC est au moins 4. En effet, si sont les 4 coins d'un tétraèdre, elle peut être brisée par$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. La dimension VC est au maximum de 5. Ceci est dû au fait que le système d'ensemble peut être incorporé dans avec des sphères dans correspondant aux hyperplans dans . On sait que les hyperplans dans ont une dimension VC .$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Voici un argument simple:

Supposons qu'il existe un ensemble de 5 points qui peut être brisé par des balles. Donc , pour tout ensemble , il existe une boule st et une boule st . Par conséquent, ne contient aucun point de . Si , et peuvent être séparés par un plan. Sinon, l'intersection des surfaces de et est un cercle. Le plan dans lequel se trouve le cercle de de . Par conséquent,$U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$ peut être brisé par des demi-espaces, une contradiction.

Le même argument dans une dimension supérieure montre que la dimension VC des boules est égale à la dimension VC des demi-espaces.

Ma solution est incorrecte. Voir autre réponse ...