Image géométrique derrière les expanseurs quantiques

(également demandé ici , pas de réponses)

Un expanseur quantique est une distribution sur le groupe unitaire avec la propriété que: a) , b) , où \ mu_H est la mesure de Haar. Si , au lieu des distributions sur unitaries nous considérons les distributions sur les matrices de permutation, il est difficile de ne pas voir que nous récupérons la définition habituelle d'un d -Regular graphique expandeur. Pour plus d'informations, voir par exemple: Extenseurs de produits à tenseurs quantiques efficaces et k-designs par Harrow et Low.$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

Ma question est la suivante: les expanseurs quantiques admettent-ils une sorte d'interprétation géométrique similaire aux expanseurs classiques (où l'écart spectral $\sim$ isopérimétrie / expansion du graphe sous-jacent)? Je ne définis pas la "réalisation géométrique" formellement, mais conceptuellement, on pourrait espérer que le critère purement spectral puisse être traduit en une image géométrique (qui, dans le cas classique, est la source de la richesse mathématique dont bénéficient les expanseurs; structure mathématique du quantum les expanseurs semblent être beaucoup plus limités).

[Cette réponse a été copiée à partir de ma réponse sur le site d'échange de données théorique de physique désormais disparu.] Pour les expandeurs classiques, la définition spectrale peut être exprimée en termes de la deuxième valeur propre la plus petite du graphique laplacien, qui peut être considérée comme le minimum de une forme quadratique sur tous les vecteurs unitaires orthogonaux au vecteur tout-en-un. Si nous limitons cette minimisation aux vecteurs de la forme (a, a, ..., a, b, b, ..b), cela donne l'expansion de bord du graphique. voici une discussion. L'équivalence approximative de ces deux définitions est connue sous le nom d'inégalité de Cheeger .

Cela suggère que pour le cas quantique, nous devrions considérer l'action du canal (formé en appliquant une unité aléatoire de l'expandeur) sur les projecteurs. Un résultat analogue à l'inégalité de Cheeger est dérivé dans l'annexe A de arXiv: 0706.0556 .

D'un autre côté, bien que cela soit mathématiquement analogue, nous connaissons encore beaucoup moins d'applications de expandeurs quantiques que celles connues pour les expandeurs classiques.