Sur les variétés et les réseaux à

EDIT (Par Tara B): Je serais toujours intéressé par une référence à une preuve de cela, car je devais le prouver moi-même pour mon propre papier.

Je cherche la preuve du Théorème 4 qui apparaît dans cet article:

Une hiérarchie infinie d'intersections de langues sans contexte par Liu et Weiner.

Théorème 4: Une variété affine à dimensions n'est pas exprimable comme une union finie de variétés affines dont chacune est de dimension n - 1 ou moins.$n$$n-1$

1. Quelqu'un connaît-il une référence à la preuve?
2. Si la variété est finie et que nous définissons un ordre naturel sur les éléments, y a-t-il une déclaration similaire en termes de réseaux?

Quelques informations pour comprendre le théorème:

Définition: Soit l'ensemble des nombres rationnels. Un sous - ensemble M ⊆ Q n est un collecteur affine si ( λ x + ( 1 - λ ) y ) ∈ M lorsque x ∈ M , y ∈ M , et λ ∈ Q .$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Définition: Une variété affine est dite parallèle à une variété affine M si M ′ = M + a pour certains a ∈ Q n .$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Théorème: manifold Chaque affine non vide est parallèle à un sous - espace unique de K . Ce K est donné par K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Définition: La dimension d'une variété affine non vide est la dimension du sous-espace qui lui est parallèle.

Intuitivement, le théorème dit qu'une ligne n'est pas une union finie de points, un plan n'est pas une union finie de lignes, etc. La preuve la plus simple est d'observer, par exemple, qu'une union finie de lignes a une aire nulle, alors qu'un l'avion ne fonctionne pas.

$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

$\mathbb F$

$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

$n=0$

$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$