Calcul d'une matrice inverse lorsqu'un élément change

Étant donné une matrice . Soit la matrice inverse de être (c'est-à-dire, ). Supposons qu'un élément de soit modifié (disons en ). L'objectif est de trouver après ce changement. Existe-t-il une méthode pour trouver cet objectif plus efficace que de recalculer la matrice inverse à partir de zéro.A A A - 1 A A - 1 = I A a i j a ′ i j A - $n \times n$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$$\mathbf{A}$$a _{ij}$$a' _{ij}$$\mathbf{A}^{-1}$

La formule Sherman-Morrison pourrait aider:

Soit et v = e j , où e i est le vecteur de colonne de base standard. Vous pouvez vérifier que si la matrice mise à jour est alors $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$$v = e_j$$e_i$A ′ - 1 = A - 1 - ( a ′ i j - a i j ) A - 1 i → A - 1 T ↓ $A'$

Un changement d'élément unique, étant donné avec A - 1 , peut être suivi avec une mise à jour de rang un. Alors oui, absolument, il y a un meilleur moyen que de recalculer l'inverse à partir de zéro.$A$$A^{-1}$

Soit le changement de l'élément a i j . En utilisant e i comme vecteur de colonne unitaire de un dans la position i et des zéros ailleurs, nous avons ( A + e i δ e ⊤ j ) A - 1 = I + e i δ e ⊤ j A - $\delta = a_{ij}' - a_{ij}$$a_{ij}$$e_i$$i$

est la matrice nulle, sauf la valeur de δ enposition i j . Pouvez-vous voir ici comment une multiplication appropriée de rang 1 avec A - 1 peut donner la nouvelle inverse souhaitée? (Ou de manière équivalente, les opérations de colonne élémentaire sur A - 1. )$e_i \delta e_j^\top$$\delta$$ij$$A^{-1}$$A^{-1}$

Ou si vous préférez effectuer des opérations sur les lignes, vous pouvez utiliser

$A^{-1}$