Prouver la langue qui comprend toutes les chaînes dans une langue est de la même longueur qu'une chaîne dans une autre langue est régulière

Donc, je me gratte la tête sur ce problème depuis quelques jours maintenant. Étant donné une certaine langue$A$ et $B$ c'est régulier, montrer que la langue $L$ qui se compose de toutes les chaînes $A$ dont la longueur est égale à une chaîne $B$ est une langue régulière.

Sous forme d'équation:

$$L = \{x \in A \mid \exists y \in B \text{ s.t. } |x| = |y| \}$$

Ma pensée initiale était d'essayer de trouver un DFA pour les deux langues $A$ et $B$ et mapper les deux états l'un avec l'autre et, espérons-le, obtenir un rapport 1: 1 de cette façon, je peux générer un nouveau DFA qui prouve que $L$est régulier. Mais j'ai réalisé que$A$ et $B$ ne doivent pas être sur le même ensemble de symboles.

Je pense que la bonne façon de résoudre ce problème est d'utiliser les propriétés de fermeture du langage ordinaire, mais je ne sais pas comment commencer / utiliser les propriétés pour les "longueurs" de chaînes au lieu des chaînes elles-mêmes.

Quelqu'un peut-il m'indiquer la bonne direction?

Rappelez-vous (ou trouvez) la preuve de

$\qquad \displaystyle L_1, L_2 \in \mathsf{REG} \implies L_1 \cap L_2 \in \mathsf{REG}$.

Voyez-vous comment modifier la preuve de votre paramètre?

Abstraction de l'égalité des choses, imaginez une construction pour un automate pour

$\qquad \displaystyle L_l = \{ w \in \Sigma^* \mid \exists x \in L.\, |x|=|w|\}$

pour donné, arbitraire $L \in \mathsf{REG}$ plus de $\Sigma$.

Voyez-vous la connexion?

Notez maintenant que $L = A \cap B_l$.

Astuces: Supposons que vous connaissez toutes les différentes longueurs de mots$B$, $len(B) = \{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, ... \}$. Pour le moment, supposons que ce soit fini.

Pouvez-vous utiliser ces connaissances pour créer un DFA pour $A$?
^{(indice: intersection ou construction "cross-product")}

L'alphabet de $B$ importe même?

Ensuite, ce pourrait être l'ensemble des longueurs $len(B)$est infini. Ensuite, regardez cette question qui devrait également résoudre ce problème.

La manière de la propriété de fermeture, donc pas d'automates (explicites). Les langues régulières sont fermées sous les morphismes, les morphismes inverses et l'intersection (avec les langues régulières).

Laisser $\Sigma_A$ et $\Sigma_B$ être les alphabets de $A$ et $B$. Laisser$h_X:\Sigma_X^* \to \{1\}^*$ être le morphisme qui mappe chaque lettre $a\in\Sigma_X$ à $1$. alors$h_B(B) \subseteq \{1\}^*$ code l'ensemble de longueur de $B$, et $h_A^{-1}(h_B(B))$ se compose de (toutes) les chaînes de même longueur que les chaînes $B$, mais sur l'alphabet de $A$. Enfin, nous observons que$L= A\cap h_A^{-1}(h_B(B))$.

Maintenant, pour le bonus . Il fonctionne également sans contexte $A$ et $B$. Nous avons cependant besoin d'une propriété supplémentaire: si$B$ est hors contexte alors $h_B(B)$est régulier (!) car toutes les langues sans contexte «unaire» (= alphabet à une seule lettre) sont régulières, conséquence du théorème de Parikh . Ainsi aussi$h_A^{-1}(h_B(B))$ est régulier, et $L$ est sans contexte.