Duals de triangulation uniques de polygones simples

Étant donné une triangulation (sans points de Steiner) d'un simple polygone , on peut considérer le dual de cette triangulation, qui est défini comme suit. Nous créons un sommet pour chaque triangle de notre triangulation, et nous connectons deux sommets si les triangles correspondants partagent une arête. Le double graphique est connu pour être un arbre avec un degré maximum trois.$P$

Pour ma candidature, je suis intéressé par ce qui suit. Étant donné un arbre avec un degré maximum de trois, est - il toujours un polygone simple P tel que le double de chaque triangulation (sans points de Steiner) de P est égal à T . Ici, la triangulation de P n'est peut-être pas unique, mais j'exige que le double graphe soit unique.$T$$P$$P$$T$$P$

Cela est certainement vrai lorsque est un chemin, mais devient flou lorsque vous avez des sommets de degré trois.$T$

Etant donné un arbre de degré maximum trois, existe-t-il toujours un simple polygone P tel que le dual de chaque triangulation (sans points de Steiner) de P soit égal à T ?$T$$P$$P$$T$

Oui. Pour montrer cela, je vais donner une procédure pour obtenir le résultat apparemment légèrement plus fort *:

Étant donné un arbre avec un degré maximum trois, construisez un polygone simple P , de telle sorte que la triangulation unique de P (sans points de Steiner) ait T comme son dual.$T$$P$$P$$T$

Démarrer en créant un triangle initial , ce qui représente un sommet v 0 en T et ajouter v 0 à la file d' attente Q . Ensuite, répétez ce qui suit jusqu'à ce que Q soit vide:$\Delta_0$$v_0$$T$$v_0$$Q$$Q$

• Pop l'élément supérieur, , de la file d'attente.$v$
• Pour chaque sommet voisin pour lequel nous n'avons pas encore placé de triangle, choisissez un côté A B du triangle Δ v et un point D à l'intérieur des régions coniques générées par la ligne passant par A B et ses segments voisins, de sorte que le triangle Δ A B D ne coupe aucun autre triangle. (Voir la figure ci - dessous) Set Δ w ← Δ A B D et ajouter w à Q .$w$$AB$$\Delta_v$$D$$AB$$\Delta ABD$$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$$w$$Q$

Cette image donne un exemple d'un polygone possible (à gauche) pour le T donné (à droite)$P$$T$

Pour voir pourquoi cette procédure fonctionne, notez d'abord qu'après avoir créé un nouveau triangle, les segments et A D génèrent un cône qui a une région non vide sans intersection avec les triangles existants (voir aussi la figure précédente), donc nous peut trouver un point approprié à chaque étape et créer un polygone.$AB$$AD$

Deuxièmement, nous avons choisi les triangles de telle sorte que le segment de ligne entre ne se trouve pas complètement à l'intérieur$CD$ . S'il existe un point d'angle Q ∉ { B , D } des triangles déjà placéstelle sorte que D Q est pleinement P , alors il doit se trouverintérieur des cônes générés par A D et B D . Cependant, comme la partie de ce cône qui ne se trouve pas à l'intérieur de Δ A B D est contenue dans le cône généré par le triangle placé précédemment, un tel$P$$Q \notin \{B,D\}$$DQ$$P$$AD$$BD$$\Delta ABD$$Q$n'existe que s'il existe un point analogue pour le triangle précédemment placé. Puisqu'il n'existe pas un tel point pour le premier triangle, cela signifie qu'il n'y a pas de tel point pour aucun triangle que nous ajoutons.

Cela signifie que toutes les paires de tout point d'angle de P pour lesquelles le segment X Y est entièrement contenu dans P sont déjà dans la triangulation construite, de sorte que la triangulation est unique pour P (toutes les triangulations ajoutent le même nombre de internes segments)$(X,Y)$$P$$XY$$P$$P$

Notez que les polygones construits dans cette méthode ont tendance à avoir des angles plutôt nets. Je soupçonne que les grands graphes arbitraires nécessitent des polygones avec de petits angles arbitraires, ce qui pourrait être un problème lors du dessin de ces polygones avec une précision finie.

_{*: La différence est que, si nous interprétons `` unique '' jusqu'à l'isomorphisme (ce qui est cohérent avec l'unicité des triangulations et des duels étant différents), nous serions d'accord avec un polygone ayant plusieurs triangulations qui ont toutes des duals isomorphes. Cependant, il est possible d'attacher plus de triangles à ces polygones pour garantir que certains duels ne sont plus isomorphes.}