Algorithme de Strassen pour l'analyse de la complexité de la multiplication matricielle

Je vois partout que l'équation récursive de la complexité de Strassen alg est: Ce n'est pas si clair pour moi. Le paramètre est censé être la taille de l'entrée, mais il semble qu'il s'agit ici d'une dimension d'une matrice alors que la taille de l'entrée est en fait . De plus, chaque matrice de l'entrée est divisée en 4 sous-matrices, il semble donc que l'équation récursive devrait être

C'est vrai que le paramètre$n$indique généralement la taille de l'entrée, mais ce n'est pas toujours le cas. Pour la multiplication à matrice carrée,$n$indique le nombre de lignes (ou colonnes). Pour les graphiques,$n$ désigne souvent le nombre de sommets, et $m$le nombre d'arêtes. Pour les algorithmes sur les fonctions booléennes,$n$ indique le nombre d'entrées, bien que la table de vérité elle-même ait une taille $2^n$. Il y a beaucoup d'autres exemples.

C'est de retour à la taille de la matrice. Supposons que la matrice d'origine soit$n\times n$. Par conséquent, nous considérerons$T(n)$ comme un calcul de deux matrices de taille $n\times n$. Lorsque nous divisons la matrice d'origine en 4 parties, la taille de chaque partie est$\frac{n}{2}\times \frac{n}{2}$. Par conséquent, le coût de calcul de la multiplication de deux matrices avec cette taille est$T(\frac{n}{2})$.

La complexité temporelle est souvent basée sur la taille d'entrée, mais ce n'est pas une exigence absolue. Dans ce cas, pour la multiplication des matrices nxn, il semble plus naturel de compter le nombre d'opérations sur la base de n, pas sur la taille du problème nx n.