Défi

Écrivez un programme P, sans aucune entrée, de telle sorte que la proposition «l'exécution de P finit éventuellement» soit indépendante de l'arithmétique Peano .

Règles formelles

(Si vous êtes un logicien mathématique qui pense que la description ci-dessus est trop informelle.)

On peut, en principe, convertir une machine Universal Turing U (par exemple votre langage de programmation préféré) en une formule arithmétique Peano HALT sur la variable p , où HALT ( p ) encode la proposition « U se termine sur le programme ( codé par Gödel ) p ”. Le défi est de trouver p tel que ni HALT ( p ) ni ¬HALT ( p ) ne peuvent être prouvés en arithmétique Peano.

Vous pouvez supposer que votre programme s'exécute sur une machine idéale avec une mémoire illimitée et des entiers / pointeurs suffisamment grands pour y accéder.

Exemple

Pour voir que de tels programmes existent, un exemple est un programme qui recherche de manière exhaustive une preuve arithmétique Peano de 0 = 1. L'arithmétique Peano prouve que ce programme s'arrête si et seulement si l'arithmétique Peano est incohérente. Puisque l'arithmétique Peano est cohérente mais ne peut pas prouver sa propre cohérence , elle ne peut pas décider si ce programme s'arrête.

Cependant, il existe de nombreuses autres propositions indépendantes de l'arithmétique Peano sur lesquelles vous pouvez baser votre programme.

Motivation

Ce défi a été inspiré par un nouveau document de Yedidia et Aaronson (2016) présentant une machine de Turing à 7 918 états dont la non-terminaison est indépendante de ZFC , un système beaucoup plus puissant que l'arithmétique Peano. Vous pouvez être intéressé par sa citation [22]. Pour ce défi, bien sûr, vous pouvez utiliser le langage de programmation de votre choix à la place des machines Turing réelles.

Haskell, 838 octets

"Si vous voulez que quelque chose soit fait, ..."

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

Explication

Ce programme recherche directement une preuve arithmétique Peano de 0 = 1. Puisque PA est cohérent, ce programme ne se termine jamais; mais comme l'AP ne peut pas prouver sa propre cohérence, la non-terminaison de ce programme est indépendante de l'AP.

T est le type d'expressions et de propositions:

• A Preprésente la proposition ∀ x [ P ( x )].
• (V 1 :$ P) :$ Qreprésente la proposition P → Q .
• V 2 :$ Preprésente la proposition ¬ P .
• (V 3 :$ x) :$ yreprésente la proposition x = y .
• (V 4 :$ x) :$ yreprésente le x + y naturel .
• (V 5 :$ x) :$ yreprésente le x ⋅ y naturel .
• V 6 :$ xreprésente le S naturel ( x ) = x + 1.
• V 7 représente le naturel 0.

Dans un environnement avec i variables libres, nous codons les expressions, propositions et preuves sous forme de matrices entières 2 × 2 [1, 0; a , b ], comme suit:

• M ( i , ∀ x [ P ( x )]) = [1, 0; 1, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)])
• M ( i , λ x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )) où M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] pour tout j > i
• M ( i , P → Q ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , P ) ⋅ M ( i , Q )
• M ( i , ¬ P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , P )
• M ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x ⋅ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , S x ) = [1, 0; 3, 4 + i ] ⋅ M ( i , x )
• M ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
• M ( i , ( Γ , P ) ⊢ P ) = [1, 0; 1, 4]
• M ( i , Γ ⊢ P ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , Q ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ Q ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ Q → P )
• M ( i , Γ ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 1, 2] ⋅ M ( i , Γ ⊢ ∀ x P (x))
• M ( i , Γ ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 2, 2] ⋅ M ( i , y ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ y = x ) ⋅ M ( i , Γ ⊢ P ( y ))
• M ( i , Γ ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , λ x [ Γ ⊢ P ( x )])
• M ( i , Γ ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , Γ ⊢ P (0)) ⋅ M ( i , λ x [( Γ , P ( x )) ⊢ P (S ( x ))]]
• M ( i , Γ ⊢ P → Q ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , P ) ⊢ Q )
• M ( i , Γ ⊢ P → Q ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , ¬ Q ) ⊢ ¬ P )

Les axiomes restants sont codés numériquement et inclus dans l'environnement initial Γ :

• M (0, ∀ x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
• M (0, ∀ x [¬ (S ( x ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
• M (0, ∀ x ∀ y [S ( x ) = S ( y ) → x = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
• M (0, ∀ x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
• M (0, ∀ y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
• M (0, ∀ x [ x ⋅ 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
• M (0, ∀ x ∀ y [ x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]

Une preuve avec matrice [1, 0; a , b ] peut être vérifiée étant donné uniquement le coin inférieur gauche a (ou toute autre valeur congruente à un modulo b ); les autres valeurs sont là pour permettre la composition des épreuves.

Par exemple, voici une preuve que l'addition est commutative.

• M (0, Γ ⊢ ∀ x ∀ y [ x + y = y + x]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

Vous pouvez le vérifier avec le programme comme suit:

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

Si la preuve n'était pas valide, vous obtiendriez la liste vide à la place.