Règles

Vous commencerez avec seulement deux éléments: Points et tels que . Ces points occupent un plan infini dans toutes les directions.$A$$B$$A \neq B$

À n'importe quelle étape du processus, vous pouvez effectuer l'une des trois actions suivantes:

1. Tracez une ligne qui passe par deux points.

2. Tracez un cercle centré en un point tel qu'un autre point se trouve sur le cercle.

3. Ajoutez un nouveau point où deux objets (lignes et cercles) se croisent.

Votre objectif est de créer 5 points de sorte qu'ils forment les sommets d'un pentagone régulier (un polygone convexe de 5 côtés de longueur égale) en utilisant le moins de cercles possible. Vous pouvez bien sûr avoir d’autres points, mais il en faut 5 pour un pentagone régulier. Vous n'avez pas à dessiner les bords du pentagone pour votre score.

Notation

Lorsque l'on compare deux réponses, celle qui trace le moins de cercles est préférable. En cas d'égalité, la réponse qui trace le moins de lignes possible est meilleure. En cas d'égalité dans les deux cercles et lignes, la réponse qui ajoute le moins de points est préférable.

Anti-règles

Bien que la liste de règles soit exhaustive et qu'elle détaille tout ce que vous pouvez faire, cette liste ne le fait pas, ce n'est pas parce que je ne dis pas que vous ne pouvez pas faire quelque chose.

• Vous ne pouvez pas créer d'objets "arbitraires". Certaines constructions que vous trouverez vont faire comme ajouter un point à un emplacement "arbitraire" et travailler à partir de là. Vous ne pouvez pas ajouter de nouveaux points à des emplacements autres que des intersections.

• Vous ne pouvez pas copier un rayon. Certaines constructions impliquent de prendre un compas le plaçant dans un rayon entre deux points, puis de le relever et de tracer un cercle ailleurs. Tu ne peux pas faire ça.

• Vous ne pouvez pas effectuer de processus limitants. Toutes les constructions doivent prendre un nombre fini d'étapes. Il ne suffit pas d'aborder la réponse de manière asymptotique.

• Vous ne pouvez pas dessiner un arc ou une partie de cercle afin d'éviter de le compter comme un cercle dans votre notation. Si vous souhaitez utiliser visuellement des arcs pour montrer ou expliquer votre réponse car ils occupent moins d’espace, allez-y, mais ils comptent comme un cercle pour marquer.

Outils

Vous pouvez réfléchir au problème sur GeoGebra . Il suffit de passer à l'onglet Formes. Les trois règles sont équivalentes au point, à la ligne et au cercle avec les outils centraux.

Charge de la preuve

Ceci est standard mais je voudrais le répéter. S'il existe une question quant à la validité d'une réponse donnée, le fardeau de la preuve incombe au répondant qui doit prouver que sa réponse est valide, et non au public de montrer que la réponse ne l'est pas.

Qu'est-ce que cela fait sur mon site Code-Golf?!

Il s’agit d’une forme de golf-code atomique semblable à la preuve-golf, mais dans un langage de programmation un peu étrange. Il existe actuellement un consensus de + 22 / -0 sur la méta autorisant ce genre de chose.

2 cercles, 13 lignes, 17 points

Essayez-le sur GeoGebra

• Soit le cercle (A, B) croiser le cercle (B, A) en C et D.
• Laissez AB croiser le cercle (A, B) à nouveau en E.
• Laissez AB croiser le cercle (B, A) à nouveau en F.
• Laissez AD intersecter le cercle (A, B) à nouveau à G.
• Laissez AD intersecter les FC à H.
• Laissez BG intersecter DF en I.
• Laissez HI intersecter le cercle (A, B) en J et K.
• Laissez BG intersecter EJ en L.
• Laissez BJ intersecter EG à M.
• Laissez BG intersecter EK à N.
• Laissez BK intersecter EG en O.
• Laissez LM intersecter le cercle (A, B) en P et S.
• Soit NO intersecter le cercle (A, B) en Q et R.

Alors EPQRS est un pentagone régulier.

Pourquoi ça marche

Laissez BE intersecter GJ en T et BE intersectons GK en U. Le quadrilatère complet BEGJ montre que T est la polaire de LM, qui est l'intersection des tangentes en P et S. De même, le quadrilatère complet BEGK montre que U est la polaire de NO, qui est l'intersection des tangentes en Q et R.

Laissez FG intersecter HI en V. Les diagonales DV et GI du quadrilatère complet DGVI coupent FH en conjugué harmonique par rapport à F et H; puisque le premier est en ∞, le second est le milieu C de FH, c'est-à-dire que C, D, V sont colinéaires.

Laissez CG intersecter HI à W.

Maintenant pour la partie amusante. La ligne FUBAT est une perspective entre G et VKIHJ, qui est une perspective autour de D pour entourer CKDGJ, qui est une perspective entre C et HKVWJ, qui est une perspective entre G et AUF∞T. La composition de ces quatre perspectives donne une projectivité FUBAT ⌅ AUF∞T. Puisqu'une projectivité unidimensionnelle est déterminée par trois points, T et U sont déterminés comme les deux points fixes de FBA ⌅ AF∞.

En assignant des coordonnées avec A = 0, B = -1, F = -2, cette projectivité est définie par x 4 / x + 2, et ses points fixes T = 1 + √5 = sec (2π / 5) et U = 1 - √5 = −sec (2π / 10), exactement comme requis pour faire d’EPQRS un pentagone régulier.

7 6 cercles, 3 lignes

Ceci est une construction classique du pentagone, une preuve de son exactitude peut être trouvée ici .

4 cercles, 7 lignes

Depuis qu'il a été battu, je pensais que je posterais simplement ma solution originale au problème. Cette solution est modifiée à partir de la méthode donnée par Dixon en mathématiques , une preuve de son exactitude pour cette méthode peut être trouvée ici .

• $\mathrm{Circle}(A,B)$
• $\overline{AB}$
• $\mathrm{Circle}(A,B)$$\overline{AB}$$C$
• $\mathrm{Circle}(B,C)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$D$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{AB}$$E$
• $\overline{DC}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{DC}$$F$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$G$
• $\overline{BG}$
• $\overline{BG}$$\overline{EF}$$H$
• $\overline{HC}$
• $\overline{HC}$$\mathrm{Circle}(C,B)$$I$
• $\overline{IA}$
• $\overline{IA}$$\mathrm{Circle}(A,B)$$J$
• $\mathrm{Cirlce}(I,J)$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\overline{HC}$$L$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\mathrm{Circle}(C,B)$$M$$K$
• $\overline{ML}$
• $\overline{KL}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{ML}$$N$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$ et $\overline{HC}$ comme $O$
• Marquez l'intersection de $\mathrm{Circle}(C,B)$ et $\overline{KL}$ comme $P$

$MKPON$ est un pentagone régulier.