Pour tout entier $r$ , il existe une puissance de 2 dont chacun des $r$ derniers chiffres est soit 1 soit 2.

$r$$x$$2^x\bmod{10^r}$ compose uniquement de 1 ou 2.

Pour $r=2$ , $x=9$ , puisque $2^9=5\color{blue}{\textrm{12}}$
Pour $r=3$ , $x=89$ , puisque $2^{89}=618970019642690137449562\color{blue}{\textrm{112}}$
Remarque: pour $r=4$ , $x$ est $=89$ (encore)

Entrée: $r \leq 100$

Sortie: $x$

Par exemple.

Entrée: 2
Sortie: 9

Entrée: 3
Sortie: 89

Le programme doit s'exécuter dans un délai raisonnable.

EDIT: La séquence oeis pour ce défi est A147884 .

Python, 166 caractères

k,f,g=1,4,16
i=j=2
n=input()
m=10**n
a=lambda c:c('')-1-i or c('1')+c('2')-c('')+1
while i<=n:
 while a(str(j)[-i:].count):j,k=j*g%m,k+f
 i,g,f=i+1,g**5%m,f*5
print k

Wolfram Language (Mathematica) , 78 76 57 55 octets

(x=0;While[Max@Abs[2IntegerDigits[2^++x,10,#]-3]>1];x)&

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IntegerDigits[a,10,r]génère une liste des rderniers chiffres décimaux de a. Soustrayez 3/2 et vérifiez qu'ils sont tous -1/2 ou +1/2.

Contrôle de synchronisation: 20 secondes sur TIO pendant r = 1 .. 10.

Wolfram Language (Mathematica) , 102 95 91 89 octets

k/.FindInstance[Mod[n=0;Nest[#+10^n(2-Mod[#/2^n++,2])&,0,#]-2^k,5^#]==0,k,Integers][[1]]&

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Cette solution est beaucoup plus longue mais beaucoup plus rapide. En empruntant le chemin suggéré dans OEIS A147884 pour passer par OEIS A053312 , ainsi qu'en utilisant la FindInstancemagie, TIO parvient à calculer r = 1 .. 12en moins d'une minute.

Rubis - 118 caractères

k,f,g,m=1,4,16
i=j=2
m=10**(n=gets.to_i)
((k+=f;j=j*g%m)until j.to_s=~%r{[12]{#{i}}$};i+=1;f*=5;g=g**5%m)until n<i
p k

Haskell, 115 caractères

import List
main=readLn>>=print. \r->head$findIndices(all(`elem`"12").take r.(++cycle"0").reverse.show)$iterate(*2)1

Python 3 , 63 octets

f=lambda i,c=2:f(i,c+1)if{*str(2**c)[-i:]}-{*'12'}else c**(i>1)

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05AB1E , 18 15 octets

∞.Δo©‹®I.£2X:`P

Essayez-le en ligne ou vérifiez les 8 premiers cas de test (plus d'expiration).

Explication:

$2^x > r$$r$$2^x$

∞.Δ            # Find the first positive integer x which is truthy (==1) for:
   o           #  Take 2 to the power the integer: 2^x
    ©          #  Store it in variable `®` (without popping)
     ‹         #  Check that it's larger than the (implicit) input: r < 2^x
               #  (1 if truhy; 0 if falsey)
    ®          #  Push variable `®` again: 2^x
     I.£       #  Only leave the last input amount of digits
        2X:    #  Replace all 2s with 1s
           `   #  Push all digits separated to the stack
    P          #  Take the product of all digits on the stack (including the earlier check)
               #  (NOTE: Only 1 is truthy in 05AB1E)

CSharp - 111 caractères

int a(int r){int x=1;a:x++;foreach(var c in Math.Pow(2,x)%Math.Pow(10,r)+"")if(c!='1'&&c!='2')goto a;return x;}

Perl 5 -Mbigint -p , 33 octets

1while($a=2**++$\)!~/[12]{$_}$/}{

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Julia 133122 (51) octets

Inspiré par la réponse de VOUS:

n->(k=1;f=4;g=big(16);i=j=2;m=10^n;while i<=n;while digits!(fill(0,i),j)⊈1:2;j,k=j*g%m,k+f;end;i,g,f=i+1,g^5%m,f*5end;k)

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Ce qui suit est beaucoup plus court, mais il se bloque pour r> 8, comme certaines des autres réponses:

f(r,x=big(1))=digits!(fill(0,r),x)⊈1:2&&f(r,2x)+1

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