Numéros de confinement principaux (édition rapide)

25

C'est la séquence A054261

Le ème nombre de confinement premier est le plus petit nombre qui contient les premiers nombres premiers comme sous-chaînes. Par exemple, le nombre est le nombre le plus bas qui contient les 3 premiers nombres premiers comme sous-chaînes, ce qui en fait le 3ème nombre de confinement principal.nn235

Il est trivial de comprendre que les quatre premiers nombres premiers de confinement sont , , et , mais cela devient plus intéressant. Étant donné que le premier nombre premier est 11, le numéro de confinement premier suivant n'est pas , mais il est car il est défini comme le plus petit nombre avec la propriété.2232352357235711112357

Cependant, le vrai défi vient quand vous allez au-delà de 11. Le prochain nombre de confinement principal est . Notez que dans ce nombre, les sous - chaînes et se chevauchent. Le nombre chevauche également le nombre .1132571113313

Il est facile de prouver que cette séquence est en augmentation, car le nombre suivant doit remplir tous les critères du nombre précédent et avoir une sous-chaîne de plus. Cependant, la séquence n'est pas strictement croissante, comme le montrent les résultats pour n=10et n=11.

Défi

Votre objectif est de trouver autant de numéros de confinement principaux que possible. Votre programme devrait les sortir de façon ordonnée, en commençant par 2 et en remontant.

Règles

  1. Vous êtes autorisé à coder en dur les nombres premiers.
  2. Vous n'êtes pas autorisé à coder en dur les nombres de confinement principaux ( 2est la seule exception), ou tout nombre magique qui rend le défi trivial. Soyez gentil.
  3. Vous pouvez utiliser la langue de votre choix. Veuillez inclure une liste de commandes pour préparer l'environnement à l'exécution du code.
  4. Vous êtes libre d'utiliser à la fois le CPU et le GPU, et vous pouvez utiliser le multithreading.

Notation

Le score officiel sera celui de mon ordinateur portable (Dell XPS 9560). Votre objectif est de générer autant de nombres de confinement principaux que possible en 5 minutes.

Spécifications

  • Intel Core i7-7700HQ 2,8 GHz (boost 3,8 GHz) 4 cœurs, 8 threads.
  • 16 Go de RAM DDR4 à 2400 MHz
  • NVIDIA GTX 1050
  • Linux Mint 18.3 64 bits

Les nombres trouvés jusqu'à présent, ainsi que le dernier nombre premier ajouté au nombre:

 1 =>                                                       2 (  2)
 2 =>                                                      23 (  3)
 3 =>                                                     235 (  5)
 4 =>                                                    2357 (  7)
 5 =>                                                  112357 ( 11)
 6 =>                                                  113257 ( 13)
 7 =>                                                 1131725 ( 17)
 8 =>                                               113171925 ( 19)
 9 =>                                              1131719235 ( 23)
10 =>                                            113171923295 ( 29)
11 =>                                            113171923295 ( 31)
12 =>                                           1131719237295 ( 37)
13 =>                                          11317237294195 ( 41)
14 =>                                        1131723294194375 ( 43)
15 =>                                      113172329419437475 ( 47)
16 =>                                     1131723294194347537 ( 53)
17 =>                                   113172329419434753759 ( 59)
18 =>                                  2311329417434753759619 ( 61)
19 =>                                231132941743475375961967 ( 67)
20 =>                               2311294134347175375961967 ( 71)
21 =>                              23112941343471735375961967 ( 73)
22 =>                             231129413434717353759619679 ( 79)
23 =>                           23112941343471735359619678379 ( 83)
24 =>                         2311294134347173535961967837989 ( 89)
25 =>                        23112941343471735359619678378979 ( 97)
26 =>                      2310112941343471735359619678378979 (101)
27 =>                    231010329411343471735359619678378979 (103)
28 =>                 101031071132329417343475359619678378979 (107)
29 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (109)
30 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (113)
31 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (127)
32 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (131)
33 =>         10103107109113127137232941734347535961967838979 (137)
34 =>      10103107109113127137139232941734347535961967838979 (139)
35 =>   10103107109113127137139149232941734347535961967838979 (149)
36 => 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979 (151)

Merci à Ardnauld, Ourous et japh d'avoir étendu cette liste.

Notez que n = 10et n = 11sont le même nombre, puisque est le nombre le plus bas qui contient tous les nombres , mais il contient également .113171923295[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]31

Pour référence, vous pouvez utiliser le fait que le script Python original que j'ai écrit pour générer cette liste ci-dessus calcule les 12 premiers termes en environ 6 minutes.

Règles supplémentaires

Après les premiers résultats, j'ai réalisé qu'il y avait de fortes chances que les meilleurs résultats finissent par avoir le même score. En cas d'égalité, le gagnant sera celui qui aura le moins de temps pour générer son résultat. Si deux ou plusieurs réponses produisent leurs résultats aussi rapidement, ce sera simplement une victoire à égalité.

Note finale

Le temps d'exécution de 5 minutes est seulement mis pour assurer un score équitable. Je serais très intéressé de voir si nous pouvons pousser la séquence OEIS plus loin (en ce moment, elle contient 17 chiffres). Avec le code d'Ourous, j'ai généré tous les nombres jusqu'à n = 26, mais je prévois de laisser le code fonctionner pendant une plus longue période.

Tableau d'affichage

  1. Python 3 + Google OR-Tools : 169
  2. Scala : 137 (non officiel)
  3. Solveur Concorde TSP : 84 (non officiel)
  4. Assemblage C ++ (GCC) + x86 : 62
  5. Propre : 25
  6. JavaScript (Node.js) : 24
maxb
la source
1
J'ai récemment basculé vers le nouveau pilote au lieu du pilote nvidia en raison de la limitation horrible du processeur lors de l'utilisation de nvidia. Si quelqu'un soumet une solution boostée par cuda, je ne pourrai pas la tester tout de suite, mais j'essaierai de la tester dans un délai raisonnable.
max
concernant la règle 2: que faire si au lieu de coder en dur n, nous codons en dur n-1 et commençons la recherche à partir de là? :)
ngn
@ngn Je devrais peut-être préciser un peu plus ce qui est autorisé. Vous êtes bien sûr autorisé à enregistrer le résultat précédent, ce qui rend la recherche n=11triviale car il vous suffit de vérifier que cela n=10satisfait également la nouvelle condition. Je dirais également que le codage en dur n'aide que jusqu'à n=17, car aucun nombre n'est connu au-delà de ce point pour autant que je puisse le savoir.
max
je voulais dire hardcoding [1,22,234,2356,112356,113256,1131724,113171924,1131719234,113171923294,113171923294,1131719237294]et commencer une recherche à partir de chacun
ngn
4
Pour autant que je sache, ce n'est qu'un cas spécial du problème de supercordes commun le plus court, et qui est déjà connu pour être NP-complet, il s'agit donc essentiellement d'éviter l'inefficacité.
Neil

Réponses:

9

Python 3 + Google OR-Tools , marque 169 en 295 secondes (score officiel)

Comment ça marche

Après avoir supprimé les nombres premiers redondants contenus dans d'autres nombres premiers, tracez un graphique dirigé avec un bord de chaque nombre premier à chacun de ses suffixes, avec la distance zéro, et un bord à chaque nombre premier de chacun de ses préfixes, avec une distance définie par le nombre de chiffres ajoutés . Nous recherchons le premier chemin lexicographiquement le plus court à travers le graphe en commençant par le préfixe vide, en passant par chaque nombre premier (mais pas nécessairement par chaque préfixe ou suffixe), et se terminant par le suffixe vide.

Par exemple, voici les bords du chemin optimal ε → 11 → 1 → 13 → 3 → 31 → 1 → 17 → ε → 19 → ε → 23 → ε → 29 → ε → 5 → ε pour n = 11, correspondant à la chaîne de sortie 113171923295.

graphique

Par rapport à la réduction directe du problème du voyageur de commerce , notez qu'en connectant indirectement les nombres premiers via ces nœuds de suffixe / préfixe supplémentaires, au lieu de les directement, nous avons considérablement réduit le nombre d'arêtes que nous devons prendre en compte. Mais comme les nœuds supplémentaires n'ont pas besoin d'être traversés exactement une fois, ce n'est plus une instance de TSP.

Nous utilisons le solveur de contraintes CP-SAT incrémentiel de Google OR-Tools, d'abord pour minimiser la longueur totale du chemin, puis pour minimiser chaque groupe de chiffres ajoutés dans l'ordre. Nous initialisons le modèle avec seulement des contraintes locales: chaque premier précède un suffixe et succède à un préfixe, tandis que chaque suffixe / préfixe précède et réussit le même nombre de nombres premiers. Le modèle résultant pourrait contenir des cycles déconnectés; si c'est le cas, nous ajoutons dynamiquement des contraintes de connectivité supplémentaires et réexécutons le solveur.

Code

import multiprocessing
from ortools.sat.python import cp_model


def superstring(strings):
    def gen_prefixes(s):
        for i in range(len(s)):
            a = s[:i]
            if a in affixes:
                yield a

    def gen_suffixes(s):
        for i in range(1, len(s) + 1):
            a = s[i:]
            if a in affixes:
                yield a

    def solve():
        def find_string(s):
            found_strings.add(s)
            for i in range(1, len(s) + 1):
                a = s[i:]
                if (
                    a in affixes
                    and a not in found_affixes
                    and solver.Value(suffix[s, a])
                ):
                    found_affixes.add(a)
                    q.append(a)
                    break

        def cut(skip):
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
            )
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
            )

        def search():
            while q:
                a = q.pop()
                for s in prefixed[a]:
                    if (
                        s in unused_strings
                        and s not in found_strings
                        and solver.Value(prefix[a, s])
                    ):
                        find_string(s)
            return not (unused_strings - found_strings)

        while True:
            if solver.Solve(model) != cp_model.OPTIMAL:
                raise RuntimeError("Solve failed")

            found_strings = set()
            found_affixes = set()
            if part is None:
                found_affixes.add("")
                q = [""]
            else:
                part_ix = solver.Value(part)
                p, next_affix, next_string = parts[part_ix]
                q = []
                find_string(next_string)
            if search():
                break

            if part is not None:
                if part_ix not in partb:
                    partb[part_ix] = model.NewBoolVar("partb%s_%s" % (step, part_ix))
                    model.Add(part == part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix])
                    model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix].Not())
                cut([partb[part_ix].Not()])
                if last_string is None:
                    found_affixes.add(next_affix)
                else:
                    find_string(last_string)
                q.append(next_affix)
                if search():
                    continue

            cut([])

    solver = cp_model.CpSolver()
    solver.parameters.num_search_workers = 4
    affixes = {s[:i] for s in strings for i in range(len(s))} & {
        s[i:] for s in strings for i in range(1, len(s) + 1)
    }
    prefixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_prefixes(s):
            prefixed.setdefault(a, []).append(s)
    suffixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_suffixes(s):
            suffixed.setdefault(a, []).append(s)
    unused_strings = set(strings)
    last_string = None
    part = None

    model = cp_model.CpModel()
    prefix = {
        (a, s): model.NewBoolVar("prefix_%s_%s" % (a, s))
        for a in affixes
        for s in prefixed[a]
    }
    suffix = {
        (s, a): model.NewBoolVar("suffix_%s_%s" % (s, a))
        for a in affixes
        for s in suffixed[a]
    }
    for s in strings:
        model.Add(sum(prefix[a, s] for a in gen_prefixes(s)) == 1)
        model.Add(sum(suffix[s, a] for a in gen_suffixes(s)) == 1)
    for a in affixes:
        model.Add(
            sum(suffix[s, a] for s in suffixed[a])
            == sum(prefix[a, s] for s in prefixed[a])
        )

    length = sum(prefix[a, s] * (len(s) - len(a)) for a in affixes for s in prefixed[a])
    model.Minimize(length)
    solve()
    model.Add(length == solver.Value(length))

    out = ""
    for step in range(len(strings)):
        in_parts = set()
        parts = []
        for a in [""] if last_string is None else gen_suffixes(last_string):
            for s in prefixed[a]:
                if s in unused_strings and s not in in_parts:
                    in_parts.add(s)
                    parts.append((s[len(a) :], a, s))
        parts.sort()
        part = model.NewIntVar(0, len(parts) - 1, "part%s" % step)
        partb = {}
        for part_ix, (p, a, s) in enumerate(parts):
            if last_string is not None:
                model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(suffix[last_string, a].Not())
            model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(prefix[a, s].Not())
        model.Minimize(part)
        solve()
        part_ix = solver.Value(part)
        model.Add(part == part_ix)
        p, a, last_string = parts[part_ix]
        unused_strings.remove(last_string)
        out += p
    return out


def gen_primes():
    yield 2
    n = 3
    d = {}
    for p in gen_primes():
        p2 = p * p
        d[p2] = 2 * p
        while n <= p2:
            if n in d:
                q = d.pop(n)
                m = n + q
                while m in d:
                    m += q
                d[m] = q
            else:
                yield n
            n += 2


def gen_inputs():
    num_primes = 0
    strings = []

    for new_prime in gen_primes():
        num_primes += 1
        new_string = str(new_prime)
        strings = [s for s in strings if s not in new_string] + [new_string]
        yield strings


with multiprocessing.Pool() as pool:
    for i, out in enumerate(pool.imap(superstring, gen_inputs())):
        print(i + 1, out, flush=True)

Résultats

Voici les 1000 premiers nombres de confinement principaux , calculés en 1½ jours sur un système à 8 cœurs / 16 fils.

Anders Kaseorg
la source
Une solution fantastique! Utiliser les détails du problème d'une manière intelligente est exactement ce que je voulais des réponses à cette question. Je l'ai exécuté sur mon ordinateur portable tout à l'heure pour un score non officiel, et je suis arrivé à 153 en 5 minutes. Je vous donnerai votre score officiel plus tard dans la journée et je m'assurerai que votre résultat semble correct. Il semble que vous soyez en tête, félicitations!
max 12/12/2018
J'ai confirmé les résultats de @ AndersKaseorg jusqu'à 1000 avec le solveur basé sur Concorde (environ 5 fois plus lent!) J'ai décidé de les revérifier parce que les deux solveurs semblent utiliser LP à virgule flottante en interne, et j'ai vu Concorde abandonner plusieurs fois en raison de erreurs d'arrondi.
japh
Je sais que c'est un peu tard, mais j'ai finalement décidé de télécharger les résultats sur OEIS. Puisque vous avez remporté le défi, voulez-vous être crédité en tant que découvreur des nouveaux numéros?
maxb
@maxb Ça me semble bien, merci!
Anders Kaseorg
14

Assemblage C ++ (GCC) + x86, score 32 36 62 en 259 secondes (officiel)

Résultats calculés jusqu'à présent. Mon ordinateur manque de mémoire après 65.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
31 101031071091131272329417343475359619678378979
32 101031071091131272329417343475359619678378979
33 10103107109113127137232941734347535961967838979
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961967838979
36 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979
37 1010310710911312713713914915157232941734347535961967838979
38 1010310710911312713713914915157163232941734347535961967838979
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
41 1010310710911312713713914915157163167173232941794347535961978389
42 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181978389
43 101031071091131271371391491515716316723294173434753596181917978389
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
46 10103107109113127137139149151571631671731791819193232941974347535961998389
47 101031071091271313714915157163167173179181919321139232941974347535961998389
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347535961998389
49 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232272941974347535961998389
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347535961998389
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347535961998389
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347535961998389
53 1010310710912713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347535961998389
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347535961998389
55 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972574347535961998389
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347535961998389
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535961998389
60 101031071091271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343475359619989
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
63 1010307107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
64 10103071071091271311371391491515716316721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
65 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989

Tous sont d'accord avec la sortie du solveur basé sur Concorde , ils ont donc de bonnes chances d'être corrects.

Journal des modifications:

  • Calcul incorrect pour la longueur de contexte nécessaire. La version précédente était 1 trop volumineuse et comportait également un bogue. Résultat: 32 34

  • Ajout d'une optimisation de groupe de contexte égal. Résultat: 34 36

  • Refonte de l'algorithme pour utiliser correctement les chaînes sans contexte, ainsi que d'autres optimisations. Résultat: 36 62

  • Ajout d'une écriture appropriée.

  • Ajout de la variante des nombres premiers.

Comment ça marche

Attention: c'est une décharge cérébrale. Faites défiler jusqu'à la fin si vous voulez juste le code.

Abréviations:

Ce programme utilise essentiellement l'algorithme de programmation dynamique des manuels pour le TSP.

  1. Plus une réduction de PCN / SCS, le problème que nous résolvons réellement, à TSP.
  2. De plus, en utilisant des contextes d'élément au lieu de tous les chiffres de chaque élément.
  3. De plus, il subdivise le problème en fonction de nombres premiers qui ne peuvent pas chevaucher les extrémités d'autres nombres premiers.
  4. Plus la fusion des calculs pour les nombres premiers avec les mêmes chiffres de début / fin.
  5. Plus des tables de recherche précalculées et une table de hachage personnalisée.
  6. De plus, quelques prélecture de bas niveau et compression de bits.

C'est beaucoup de bugs potentiels. Après avoir joué avec l'entrée de anselm et avoir échoué à en tirer des résultats erronés, je devrais au moins prouver que mon approche globale est correcte.

Bien que la solution basée sur Concorde soit (beaucoup, beaucoup) plus rapide, elle est basée sur la même réduction, donc cette explication s'applique aux deux. De plus, cette solution peut être adaptée pour OEIS A054260 , la séquence de nombres premiers contenant des nombres premiers; Je ne sais pas comment résoudre cela efficacement dans le cadre du TSP. C'est donc encore un peu pertinent.

Réduction du TSP

Commençons par prouver que la réduction au TSP est correcte. Nous avons un ensemble de chaînes, disons

A = 13, 31, 37, 113, 137, 211

et nous voulons trouver la plus petite chaîne supérieure contenant ces éléments.

Connaître la longueur suffit

Pour le PCN, s'il existe plusieurs chaînes plus courtes, nous devons renvoyer la plus petite lexicographiquement. Mais nous examinerons un problème différent (et plus facile).

  • SCS : étant donné un préfixe initial et un ensemble d'éléments, recherchez la chaîne la plus courte contenant tous les éléments en tant que sous-chaînes et commence par ce préfixe.
  • Longueur SCS : Trouvez simplement la longueur du SCS.

Si nous pouvons résoudre SCS-Length, nous pouvons reconstruire la plus petite solution et obtenir le PCN. Si nous savons que la plus petite solution commence par notre préfixe, nous essayons de l'étendre en ajoutant chaque élément, dans l'ordre lexicographique, et en résolvant à nouveau la longueur. Lorsque nous trouvons le plus petit élément pour lequel la longueur de la solution est la même, nous savons que ce doit être le prochain élément dans la plus petite solution (pourquoi?), Alors ajoutez-le et reprenez les éléments restants. Cette méthode pour atteindre la solution est appelée auto-réduction .

Visite du graphique de chevauchement maximal

Supposons que nous ayons commencé à résoudre SCS pour l'exemple ci-dessus à la main. Nous aurions probablement:

  • Débarrassez-vous de 13et 37, car ils sont déjà des sous-chaînes des autres éléments. Toute solution qui contient 137, par exemple, doit également contenir 13et 37.
  • Commencer à envisager les combinaisons 113,137 → 1137, 211,113 → 2113etc.

C'est en fait la bonne chose à faire, mais prouvons-le par souci d'exhaustivité. Prenez n'importe quelle solution SCS; par exemple, la chaîne la plus courte pour Aest

2113137

et il peut être décomposé en une concaténation de tous les éléments dans A:

211
 113
   31
    137

(Nous ignorons les éléments redondants 13, 37.) Observez que:

  1. Les positions de début et de fin de chaque élément augmentent d'au moins 1.
  2. Chaque élément se chevauche dans la mesure du possible avec l'élément précédent.

Nous montrerons que chaque super-chaîne la plus courte peut être décomposée de cette façon:

  1. Pour chaque paire d'éléments adjacents x,y, ycommence et se termine à des positions ultérieures à x. Si ce n'est pas vrai, alors c'est soit xune sous-chaîne de you vice versa. Mais nous avons déjà supprimé tous les éléments qui sont des sous-chaînes, ce qui ne peut pas se produire.

  2. Supposons que les éléments adjacents de la séquence aient un chevauchement inférieur au maximum, par exemple 21113au lieu de 2113. Mais cela rendrait le 1redondant supplémentaire . Aucun élément ultérieur n'a besoin de l'initiale 1(comme dans 2 1 113), car il se produit plus tôt que 113, et tous les éléments qui apparaissent après 113ne peuvent pas commencer par un chiffre avant 113(voir point 1). Un argument similaire empêche le dernier extra 1(comme dans 211 1 3) d'être utilisé par n'importe quel élément avant 211. Mais notre super chaîne la plus courte , par définition, n'aura pas de chiffres redondants, de sorte que de tels chevauchements non maximaux ne se produiront pas.

Avec ces propriétés, nous pouvons convertir tout problème SCS en TSP:

  1. Supprimez tous les éléments qui sont des sous-chaînes d'autres éléments.
  2. Créez un graphique dirigé qui a un sommet pour chaque élément.
  3. Pour chaque paire d'éléments x, yajoutez un bord de xà ydont le poids est le nombre de symboles supplémentaires ajoutés en ajoutant yà xavec chevauchement maximal. Par exemple, nous ajouterions un bord de 211à 113avec le poids 1, car 2113ajoute un chiffre de plus 211. Répétez l'opération pour le bord de yà x.
  4. Ajoutez un sommet pour le préfixe initial et des arêtes de celui-ci à tous les autres éléments.

Tout chemin sur ce graphique, à partir du préfixe initial, correspond à une concaténation à chevauchement maximal de tous les éléments sur ce chemin, et le poids total du chemin est égal à la longueur de chaîne concaténée. Par conséquent, chaque tour de poids le plus bas, qui visite tous les articles au moins une fois, correspond à une super chaîne la plus courte.

Et c'est la réduction de SCS (et SCS-Length) à TSP.

Algorithme de programmation dynamique

Il s'agit d'un algorithme classique, mais nous le modifierons un peu, alors voici un petit rappel.

(J'ai écrit cela comme un algorithme pour SCS-Length au lieu de TSP. Ils sont essentiellement équivalents, mais le vocabulaire SCS aide lorsque nous arrivons aux optimisations spécifiques à SCS.)

Appelez l'ensemble des éléments d'entrée Aet le préfixe donné P. Pour chaque ksous-ensemble Sd'éléments Aet dans chaque élément ede S, nous calculons la longueur de la chaîne la plus courte qui commence par P, contient tout Set se termine par e. Cela implique de stocker une table des valeurs de (S, e)à leurs longueurs SCS.

Lorsque nous arrivons à chaque sous - ensemble S, les besoins de table pour contenir déjà les résultats S - {e}pour tous edans S. Comme le tableau peut devenir assez volumineux, je calcule les résultats pour tous les ksous-ensembles d'éléments, puis k+1, etc. Pour cela, nous devons uniquement stocker les résultats pour ket k+1à tout moment. Cela réduit l'utilisation de la mémoire d'un facteur d'environ sqrt(|A|).

Encore un détail: au lieu de calculer la longueur SCS minimum, je calcule en fait le chevauchement total maximum entre les articles. (Pour obtenir la longueur SCS, il suffit de soustraire le chevauchement total de la somme des longueurs des articles.) L'utilisation de chevauchements permet certaines des optimisations suivantes.

[2.] Contextes d'élément

Un contexte est le suffixe le plus long d'un élément qui peut chevaucher les éléments suivants. Si nos articles le sont 113,211,311, alors 11est le contexte de 211et 311. (C'est aussi le contexte de préfixe pour 113lequel nous allons voir en partie [4.])

Dans l'algorithme DP ci-dessus, nous avons gardé une trace des solutions SCS qui se terminent par chaque élément, mais nous ne nous soucions pas réellement de l'élément dans lequel se termine un SCS. Tout ce que nous devons savoir, c'est le contexte. Ainsi, par exemple, si deux SCS pour le même ensemble se terminent par 23et 43, tout SCS qui continue de l'un fonctionnera également pour l'autre.

Il s'agit d'une optimisation importante, car les nombres premiers non triviaux se terminent uniquement par les chiffres 1 3 7 9. Les quatre contextes à un chiffre 1,3,7,9(plus le contexte vide) sont en fait suffisants pour calculer les PCN pour les nombres premiers jusqu'à 131.

[3.] Éléments sans contexte

D'autres ont déjà souligné que de nombreux nombres premiers commencent par les chiffres 2,4,5,6,8, tels que 23,29,41,43.... Aucun de ceux-ci ne peut chevaucher un nombre premier précédent (à l'exception de 2et 5, les nombres premiers ne peuvent pas se terminer par ces chiffres 2et 5auront déjà été supprimés comme redondants). Dans le code, celles-ci sont appelées chaînes sans contexte .

Si notre entrée contient des éléments sans contexte, chaque solution SCS peut être divisée en blocs

<prefix>... 23... 29... 41... 43...

et les chevauchements dans chaque bloc sont indépendants des autres blocs. Nous pouvons mélanger les blocs ou échanger des éléments entre des blocs qui ont le même contexte, sans changer la longueur du SCS.

Ainsi, nous devons seulement garder une trace des multisets possibles de contextes, un pour chaque bloc.

Exemple complet: pour les nombres premiers inférieurs à 100, nous avons 11 éléments sans contexte et leurs contextes:

23 29 41 43 47 53 59 61 67 83 89
 3  9  1  3  7  3  9  1  7  3  9

Notre contexte multiset initial:

1 1 3 3 3 3 7 7 9 9 9

Le code les appelle des contextes combinés ou ccontextes . Ensuite, il nous suffit de considérer les sous-ensembles des éléments restants:

11 13 17 19 31 37 71 73 79 97

[4.] Fusion de contexte

Une fois que nous arrivons aux nombres premiers à 3 chiffres ou plus, il y a plus de redondances:

 101 151 181 191 ...
 107 127 157 167 197 ...
 109 149 1009 ...

Ces groupes partagent les mêmes contextes de début et de fin (généralement - cela dépend des autres nombres premiers dans l'entrée), donc ils ne peuvent pas être distingués lorsqu'ils se chevauchent avec d'autres éléments. Nous ne nous soucions que des chevauchements, nous pouvons donc traiter les nombres premiers de ces groupes à contexte égal comme indiscernables. Maintenant, nos sous-ensembles DP sont condensés en plusieurs sous-ensembles

4 × 1_1
5 × 1_7
3 × 1_9

(C'est aussi pourquoi le solveur maximise la longueur de chevauchement au lieu de minimiser la longueur SCS: cette optimisation préserve la longueur de chevauchement.)

Résumé: les optimisations de haut niveau

L'exécution avec une INFOsortie de débogage affichera des statistiques comme

solve: N=43, N_search=26, ccontext_size=18, #contexts=7, #eq_context_groups=16

Cette ligne particulière concerne la longueur SCS des 62 premiers nombres premiers 2à 293.

  • Après avoir supprimé les éléments redondants, nous nous retrouvons avec 43 nombres premiers qui ne sont pas des sous-chaînes les uns des autres.
  • Il existe 7 contextes uniques : 1,3,7,11,13,27plus la chaîne vide.
  • 17 des 43 nombres premiers sont hors-contexte : 43,47,53,59,61,89,211,223,227,229,241,251,257,263,269,281,283. Ceux-ci et le préfixe donné (dans ce cas, une chaîne vide) forment la base du contexte combiné initial .
  • Dans les 26 autres éléments ( N_search), il existe 16 groupes à contexte égal non triviaux .

En exploitant ces structures, le calcul de la longueur SCS n'a besoin que de vérifier 8498336 (multiset, ccontext)combinaisons. Une programmation dynamique simple prendrait des 43×2^43 > 3×10^14mesures, et le forçage brutal des permutations prendrait des 6×10^52mesures. Le programme doit encore exécuter SCS-Length plusieurs fois pour reconstruire la solution PCN, mais cela ne prend pas beaucoup de temps.

[5., 6.] Les optimisations de bas niveau

Au lieu d'effectuer des opérations de chaîne, le solveur SCS-Length fonctionne avec des indices d'éléments et de contextes. Je précalcule également le montant de chevauchement entre chaque contexte et chaque paire d'articles.

Le code utilisait initialement GCC unordered_map, qui semble être une table de hachage avec des compartiments de liste liés et des tailles de hachage principales (c'est-à-dire des divisions coûteuses). J'ai donc écrit ma propre table de hachage avec une sonde linéaire et des tailles de puissance de deux. Cela permet une accélération de 3 × et une réduction de 3 × de la mémoire.

Chaque état de table se compose d'un ensemble multiple d'éléments, d'un contexte combiné et d'un nombre de chevauchements. Ceux-ci sont regroupés en entrées de 128 bits: 8 pour le nombre de chevauchements, 56 pour le multiset (comme un jeu de bits avec codage de longueur) et 64 pour le ccontext (RLE délimité par 1). Encoder et décoder le ccontext était la partie la plus délicate et j'ai fini par utiliser la nouvelle PDEPinstruction (c'est tellement nouveau, GCC n'a pas encore intrinsèque pour cela).

Enfin, l'accès à une table de hachage est très lent lorsqu'il Ndevient volumineux, car la table ne tient plus dans le cache. Mais la seule raison pour laquelle nous écrivons dans la table de hachage est de mettre à jour le nombre de chevauchements le plus connu pour chaque état. Le programme divise cette étape en une file d'attente de prélecture, et la boucle interne prélecte chaque recherche de table quelques itérations avant de mettre à jour cet emplacement. Une autre accélération 2 × sur mon ordinateur.

Bonus: améliorations supplémentaires

AKA Comment Concorde est-il si rapide?

Je ne connais pas grand-chose aux algorithmes TSP, alors voici une estimation approximative.

Concorde utilise la méthode branch-and-cut pour résoudre les TSP.

  • Il code le TSP comme un programme linéaire entier
  • Il utilise des méthodes de programmation linéaire, ainsi que des heuristiques initiales, pour obtenir des limites inférieures et supérieures sur la distance optimale du tour
  • Ces bornes sont ensuite introduites dans une branche et un algorithme récursif lié qui recherche la solution optimale. De grandes parties de l'arbre de recherche peuvent être élaguées si la limite inférieure calculée pour un sous-arbre dépasse une limite supérieure connue
  • Il recherche également des plans de coupe pour resserrer la relaxation LP et obtenir de meilleures limites. En règle générale, ces coupes codent la connaissance du fait que les variables de décision doivent être des entiers

Des idées évidentes que nous pourrions essayer:

  • Élagage dans le solveur SCS-Length, en particulier lors de la reconstruction de la solution PCN (à ce stade, nous savons déjà quelle est la longueur de la solution)
  • Dérivation de limites inférieures faciles à calculer pour SCS, qui peuvent être utilisées pour aider à l'élagage
  • Trouver plus de symétries ou de redondances dans la distribution des nombres premiers à exploiter

Cependant, la combinaison branch-and-cut est très puissante, donc nous pourrions ne pas être en mesure de battre un solveur de pointe comme Concorde, pour les grandes valeurs de N.

Bonus bonus: les nombres premiers de confinement

Contrairement à la solution basée sur le Concorde, ce programme peut être modifié pour trouver les contenant plus petits nombres premiers ( OEIS A054260 ). Cela implique trois changements:

  1. 1/ln(n)

  2. Modifiez le code du solveur SCS-Length pour catégoriser les solutions selon que leurs chiffres sont divisibles par 3. Cela implique d'ajouter une autre entrée, la somme des chiffres mod 3, à chaque état DP. Cela réduit considérablement les chances que le solveur principal reste bloqué avec des permutations non principales. C'est le changement que je n'ai pas pu trouver comment traduire en TSP. Il peut être encodé avec ILP, mais je devrais alors en apprendre davantage sur cette chose appelée «inégalité de sous-circuit» et comment les générer.

  3. Il se peut que tous les PCN les plus courts soient divisibles par 3. Dans ce cas, le plus petit nombre premier de confinement premier doit être au moins un chiffre plus long que le PCN. Si notre solveur SCS-Length le détecte, le code de reconstruction de la solution a la possibilité d'ajouter un chiffre supplémentaire à tout moment du processus. Il essaie d'ajouter chaque chiffre possible 0..9et chaque élément restant au préfixe de solution actuel, dans l'ordre lexicographique comme précédemment.

Avec ces changements, je peux obtenir les solutions jusqu'à N=62. Sauf pour 47, où le code de reconstruction est bloqué et abandonne après 1 million de pas (je ne sais pas encore pourquoi). Les nombres premiers de confinement principaux sont:

1 2
2 23
3 523
4 2357
5 112573
6 511327
7 1135217
8 1113251719
9 11171323519
10 113171952923
11 113171952923
12 11131951723729
13 11317237419529
14 1131723294375419
15 113172329541947437
16 1131723294195343747
17 1113172329419434753759
18 11231329417437475361959
19 231132941743475375967619
20 2311294134347175967619537
21 23112941343471735967619537
22 231129413434717359537679619
23 23112941343471735375961983679
24 11231294134347173535961967983789
25 23112941343471735359679837619789
26 2310112941343471735359619783789679
27 231010329411343471735359619678379897
28 101031071132329417343475359619798376789
29 101031071091132329417343475359619767898379
30 101031071091132329417343475359619767898379
31 1010310710911131272329417343475359619678979837
32 1010310710911131272329417343475359619678979837
33 10103107109113127137232941734347535978961967983
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961976798389
36 1010310710911312713713914923294151734347535976198389679
37 1010310710911312713713914915157232941734347535967619798389
38 10103107109111312713713914915157163232941734347535967897961983
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
41 10103107109111312713713914915157163167173232941794347535976198983
42 1010310710911131271371391491515716316717323294179434761819535989783
43 1010310710911131271371391491515716316723294173434753596181917989783
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753836181919389597
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347538961975983
46 101031071091113127137139149151571631671731791819193232941974347535989836199
47 (failed)
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347895359836199
49 10103107109112713137149151571631671731791819193211392232272941974347619983535989
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347595389836199
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347595389619983
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347538361995989
53 10103107109112713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347619983538959
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347619953835989
55 1010310710911271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974325747596199538983
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347619959895383
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535983896199
60 1010310710911271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343538947619959
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343534759896199

Code

Compiler avec

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn.cpp -o pcn

Pour la version en nombre premier, liez également avec GMPlib, par exemple

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn-prime.cpp -o pcn-prime -lgmp -lgmpxx

Ce programme utilise l'instruction PDEP, qui n'est disponible que sur les processeurs x86 récents (Haswell +). Mon ordinateur et maxb le supportent. Si ce n'est pas le cas, le programme se compilera dans une version logicielle lente. Un avertissement de compilation sera imprimé lorsque cela se produira.

#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <array>

using namespace std;

void debug_dummy(...) {
}

#ifndef INFO
//#  define INFO(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define INFO debug_dummy
#endif

#ifndef DEBUG
//#    define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define DEBUG debug_dummy
#endif

bool is_prime(size_t n)
{
    for (size_t d = 2; d * d <= n; ++d) {
        if (n % d == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// bitset, works for up to 64 strings
using bitset_t = uint64_t;
const size_t bitset_bits = 64;

// Find position of n-th set bit of x
uint64_t bit_select(uint64_t x, size_t n) {
#ifdef __BMI2__
    // Bug: GCC doesn't seem to provide the _pdep_u64 intrinsic,
    // despite what its manual claims. Neither does Clang!
    //size_t r = _pdep_u64(ccontext_t(1) << new_context, ccontext1);
    size_t r;
    // NB: actual operand order is %2, %1 despite the intrinsic taking %1, %2
    asm ("pdep %2, %1, %0"
         : "=r" (r)
         : "r" (uint64_t(1) << n), "r" (x)
         );
    return __builtin_ctzll(r);
#else
#  warning "bit_select: no x86 BMI2 instruction set, falling back to slow code"
    size_t k = 0, m = 0;
    for (; m < 64; ++m) {
        if (x & (uint64_t(1) << m)) {
            if (k == n) {
                break;
            }
            ++k;
        }
    }
    return m;
#endif
}

#ifndef likely
#  define likely(x) __builtin_expect(x, 1)
#endif
#ifndef unlikely
#  define unlikely(x) __builtin_expect(x, 0)
#endif

// Return the shortest string that begins with a and ends with b
string join_strings(string a, string b) {
    for (size_t overlap = min(a.size(), b.size()); overlap > 0; --overlap) {
        if (a.substr(a.size() - overlap) == b.substr(0, overlap)) {
            return a + b.substr(overlap);
        }
    }
    return a + b;
}

vector <string> dedup_items(string context0, vector <string> items)
{
    vector <string> items2;
    for (size_t i = 0; i < items.size(); ++i) {
        bool dup = false;
        if (context0.find(items[i]) != string::npos) {
                dup = true;
        } else {
            for (size_t j = 0; j < items.size(); ++j) {
                if (items[i] == items[j]?
                    i > j
                        : items[j].find(items[i]) != string::npos) {
                    dup = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!dup) {
            items2.push_back(items[i]);
        }
    }
    return items2;
}

// Table entry used in main solver
const size_t solver_max_item_set = bitset_bits - 8;
struct Solver_entry
{
    uint8_t score : 8;
    bitset_t items : solver_max_item_set;
    bitset_t context;

    Solver_entry()
    {
        score = 0xff;
        items = 0;
        context = 0;
    }
    bool is_empty() const {
        return score == 0xff;
    }
};

// Simple hash table to avoid stdlib overhead
struct Solver_table
{
    vector <Solver_entry> t;
    size_t t_bits;
    size_t size_;
    size_t num_probes_;

    Solver_table()
    {
        // 256 slots initially -- this needs to be not too small
        // so that the load factor formula in update_score works
        t_bits = 8;
        size_ = 0;
        num_probes_ = 0;
        resize(t_bits);
    }
    static size_t entry_hash(bitset_t items, bitset_t context)
    {
        uint64_t h = 0x3141592627182818ULL;
        // Add context first, since its bits are generally
        // less well distributed than items
        h += context;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        h += items;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        return h;
    }
    size_t probe_index(size_t hash) const {
        return hash & ((size_t(1) << t_bits) - 1);
    }
    void resize(size_t t2_bits)
    {
        assert (size_ < size_t(1) << t2_bits);
        vector <Solver_entry> t2(size_t(1) << t2_bits);
        for (auto entry: t) {
            if (!entry.is_empty()) {
                size_t h = entry_hash(entry.items, entry.context);
                size_t mask = (size_t(1) << t2_bits) - 1;
                size_t idx = h & mask;
                while (!t2[idx].is_empty()) {
                    idx = (idx + 1) & mask;
                    ++num_probes_;
                }
                t2[idx] = entry;
            }
        }
        t.swap(t2);
        t_bits = t2_bits;
    }
    uint8_t update_score(bitset_t items, bitset_t context, uint8_t score)
    {
        // Ensure we can insert a new item without resizing
        assert (size_ < t.size());

        size_t index = probe_index(entry_hash(items, context));
        size_t mask = (size_t(1) << t_bits) - 1;
        for (size_t p = 0; p < t.size(); ++p, index = (index + 1) & mask) {
            ++num_probes_;
            if (likely(t[index].items == items && t[index].context == context)) {
                t[index].score = max(t[index].score, score);
                return t[index].score;
            }
            if (t[index].is_empty()) {
                // add entry
                t[index].score = score;
                t[index].items = items;
                t[index].context = context;
                ++size_;
                // load factor 4/5 -- ideally 2-3 average probes per lookup
                if (5*size_ > 4*t.size()) {
                    resize(t_bits + 1);
                }
                return score;
            }
        }
        assert (false && "bug: hash table probe loop");
    }
    size_t size() const {
        return size_;
    }
    void swap(Solver_table table)
    {
        t.swap(table.t);
        ::swap(size_, table.size_);
        ::swap(t_bits, table.t_bits);
        ::swap(num_probes_, table.num_probes_);
    }
};

/*
 * Main solver code.
 */
struct Solver
{
    // Inputs
    vector <string> items;
    string context0;
    size_t context0_index;

    // Mapping between strings and indices
    vector <string> context_to_string;
    unordered_map <string, size_t> string_to_context;

    // Items that have context-free prefixes, i.e. prefixes that
    // never overlap with the end of other items nor context0
    vector <bool> contextfree;

    // Precomputed contexts (suffixes) for each item
    vector <size_t> item_context;
    // Precomputed updates: (context, string) to overlap amount
    vector <vector <size_t>> join_overlap;

    Solver(vector <string> items, string context0)
        :items(items), context0(context0)
    {
        items = dedup_items(context0, items);
        init_context_();
    }

    void init_context_()
    {
        /*
         * Generate all relevant item-item contexts.
         *
         * At this point, we know that no item is a substring of
         * another, nor of context0. This means that the only contexts
         * we need to care about, are those generated from maximal join
         * overlaps between any two items.
         *
         * Proof:
         * Suppose that the shortest containing string needs some other
         * kind of context. Maybe it depends on a context spanning
         * three or more items, say X,Y,Z. But if Z ends after Y and
         * interacts with X, then Y must be a substring of Z.
         * This cannot happen, because we removed all substrings.
         *
         * Alternatively, it depends on a non-maximal join overlap
         * between two strings, say X,Y. But if this overlap does not
         * interact with any other string, then we could maximise it
         * and get a shorter solution. If it does, then call this
         * other string Z. We would get the same contradiction as in
         * the previous case with X,Y,Z.
         */
        size_t N = items.size();
        vector <size_t> max_prefix_overlap(N), max_suffix_overlap(N);
        size_t context0_suffix_overlap = 0;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < N; ++j) {
                if (i == j) continue;
                string joined = join_strings(items[j], items[i]);
                size_t overlap = items[j].size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                max_suffix_overlap[j] = max(max_suffix_overlap[j], overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }

            // Context for initial join with context0
            {
                string joined = join_strings(context0, items[i]);
                size_t overlap = context0.size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                context0_suffix_overlap = max(context0_suffix_overlap, overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }
        }
        // Now compute all canonical trailing contexts
        context0_index = string_to_context[
                           context0.substr(context0.size() - context0_suffix_overlap)];
        item_context.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            item_context[i] = string_to_context[
                                items[i].substr(items[i].size() - max_suffix_overlap[i])];
        }

        // Now detect context-free items
        contextfree.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            contextfree[i] = (max_prefix_overlap[i] == 0);
            if (contextfree[i]) {
                DEBUG("  contextfree: %s\n", items[i].c_str());
            }
        }

        // Now compute all possible overlap amounts
        join_overlap.resize(context_to_string.size(), vector <size_t> (N));
        for (size_t c_index = 0; c_index < context_to_string.size(); ++c_index) {
            const string& context = context_to_string[c_index];
            for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
                string joined = join_strings(context, items[i]);
                size_t overlap = context.size() + items[i].size() - joined.size();
                join_overlap[c_index][i] = overlap;
            }
        }
    }

    // Main solver.
    // Returns length of shortest string containing all items starting
    // from context0 (context0's length not included).
    size_t solve() const
    {
        size_t N = items.size();

        // Length, if joined without overlaps. We try to improve this by
        // finding overlaps in the main iteration
        size_t base_length = 0;
        for (auto s: items) {
            base_length += s.size();
        }

        // Now take non-context-free items. We will only need to search
        // over these items.
        vector <size_t> search_items;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (!contextfree[i]) {
                search_items.push_back(i);
            }
        }
        size_t N_search = search_items.size();

        /*
         * Some groups of strings have the same context transitions.
         * For example "17", "107", "127", "167" all have an initial
         * context of "1" and a trailing context of "7", no other
         * overlaps are possible with other primes.
         *
         * We group these strings and treat them as indistinguishable
         * during the main algorithm.
         */
        auto eq_context = [&](size_t i, size_t j) {
            if (item_context[i] != item_context[j]) {
                return false;
            }
            for (size_t ci = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci) {
                if (join_overlap[ci][i] != join_overlap[ci][j]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        };
        vector <size_t> eq_context_group(N_search, size_t(-1));
        for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
            for (size_t sj = si-1; sj+1 > 0; --sj) {
                size_t i = search_items[si], j = search_items[sj];
                if (!contextfree[j] && eq_context(i, j)) {
                    DEBUG("  eq context: %s =c= %s\n", items[i].c_str(), items[j].c_str());
                    eq_context_group[si] = sj;
                    break;
                }
            }
        }

        // Figure out the combined context size. A combined context has
        // one entry for each context-free item plus one for context0.
        size_t ccontext_size = N - N_search + 1;

        // Assert that various parameters all fit into our data types
        using ccontext_t = bitset_t;
        assert (context_to_string.size() + ccontext_size <= bitset_bits);
        assert (N_search <= solver_max_item_set);
        assert (base_length < 0xff);

        // Initial combined context.
        unordered_map <size_t, size_t> cc0_full;
        ++cc0_full[context0_index];
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (contextfree[i]) {
                ++cc0_full[item_context[i]];
            }
        }
        // Now pack into unary-encoded bitset. The bitset stores the
        // count for each context as <count> number of 0 bits,
        // followed by a 1 bit.
        ccontext_t cc0 = 0;
        for (size_t ci = 0, b = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci, ++b) {
            b += cc0_full[ci];
            cc0 |= ccontext_t(1) << b;
        }

        // Map from (item set, context) to maximum achievable overlap
        Solver_table k_solns;
        // Base case: cc0 with empty set
        k_solns.update_score(0, cc0, 0);

        // Now start dynamic programming. k is current subset size
        size_t eq_context_groups = 0;
        for (size_t g: eq_context_group) eq_context_groups += (g != size_t(-1));
        if (context0.empty()) {
            INFO("solve: N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                 N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        } else {
            DEBUG("solve: context=%s, N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                  context0.c_str(), N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        }
        for (size_t k = 0; k < N_search; ++k) {
            decltype(k_solns) k1_solns;

            // The main bottleneck of this program is updating k1_solns,
            // which (for larger N) becomes a huge table.
            // We use a prefetch queue to reduce memory latency.
            const size_t prefetch = 8;
            array <Solver_entry, prefetch> entry_queue;
            size_t update_i = 0;

            // Iterate every k-subset
            for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
                if (entry.is_empty()) continue;

                bitset_t s = entry.items;
                ccontext_t ccontext = entry.context;
                size_t overlap = entry.score;

                // Try adding a new item
                for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
                    bitset_t s1 = s | bitset_t(1) << si;
                    if (s == s1) {
                        continue;
                    }
                    // Add items in each eq_context_group sequentially
                    if (eq_context_group[si] != size_t(-1) &&
                        !(s & bitset_t(1) << eq_context_group[si])) {
                        continue;
                    }
                    size_t i = search_items[si]; // actual item index

                    size_t new_context = item_context[i];
                    // Increment ccontext's count for new_context.
                    // We need to find its delimiter 1 bit
                    size_t bit_n = bit_select(ccontext, new_context);
                    ccontext_t ccontext_n =
                        ((ccontext & ((ccontext_t(1) << bit_n) - 1))
                         | ((ccontext >> bit_n << (bit_n + 1))));

                    // Select non-empty sub-contexts to substitute for new_context
                    for (size_t ci = 0, bit1 = 0, count;
                         ci < context_to_string.size();
                         ++ci, bit1 += count + 1)
                    {
                        assert (ccontext_n >> bit1);
                        count = __builtin_ctzll(ccontext_n >> bit1);
                        if (!count
                            // We just added new_context; we can only remove an existing
                            // context entry there i.e. there must be at least two now
                            || (ci == new_context && count < 2)) {
                            continue;
                        }

                        // Decrement ci in ccontext_n
                        bitset_t ccontext1 =
                            ((ccontext_n & ((ccontext_t(1) << bit1) - 1))
                             | ((ccontext_n >> (bit1 + 1)) << bit1));

                        size_t overlap1 = overlap + join_overlap[ci][i];

                        // do previous prefetched update
                        if (update_i >= prefetch) {
                            Solver_entry entry = entry_queue[update_i % prefetch];
                            k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
                        }

                        // queue the current update and prefetch
                        Solver_entry entry1;
                        size_t probe_index = k1_solns.probe_index(Solver_table::entry_hash(s1, ccontext1));
                        __builtin_prefetch(&k1_solns.t[probe_index]);
                        entry1.items = s1;
                        entry1.context = ccontext1;
                        entry1.score = overlap1;
                        entry_queue[update_i % prefetch] = entry1;

                        ++update_i;
                    }
                }
            }

            // do remaining queued updates
            for (size_t j = 0; j < min(update_i, prefetch); ++j) {
                Solver_entry entry = entry_queue[j];
                k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
            }

            if (context0.empty()) {
                INFO("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                     k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            } else {
                DEBUG("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                      k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            }
            k_solns.swap(k1_solns);
        }

        // Overall solution
        size_t max_overlap = 0;
        for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
            if (entry.is_empty()) continue;
            max_overlap = max(max_overlap, size_t(entry.score));
        }
        return base_length - max_overlap;
    }
};

// Wrapper for Solver that also finds the smallest solution string
string smallest_containing_string(vector <string> items)
{
    items = dedup_items("", items);

    size_t soln_length;
    {
        Solver solver(items, "");
        soln_length = solver.solve();
    }
    DEBUG("Found solution length: %zu\n", soln_length);

    string soln;
    vector <string> remaining_items = items;
    while (remaining_items.size() > 1) {
        // Add all possible next items, in lexicographic order
        vector <pair <string, size_t>> next_solns;
        for (size_t i = 0; i < remaining_items.size(); ++i) {
            const string& item = remaining_items[i];
            next_solns.push_back(make_pair(join_strings(soln, item), i));
        }
        assert (next_solns.size() == remaining_items.size());
        sort(next_solns.begin(), next_solns.end());

        // Now try every item in order
        bool found_next = false;
        for (auto ns: next_solns) {
            size_t i;
            string next_soln;
            tie(next_soln, i) = ns;
            DEBUG("Trying: %s + %s -> %s\n",
                  soln.c_str(), remaining_items[i].c_str(), next_soln.c_str());
            vector <string> next_remaining;
            for (size_t j = 0; j < remaining_items.size(); ++j) {
                if (next_soln.find(remaining_items[j]) == string::npos) {
                    next_remaining.push_back(remaining_items[j]);
                }
            }

            Solver solver(next_remaining, next_soln);
            size_t next_size = solver.solve();
            DEBUG("  ... next_size: %zu + %zu =?= %zu\n", next_size, next_soln.size(), soln_length);
            if (next_size + next_soln.size() == soln_length) {
                INFO("  found next item: %s\n", remaining_items[i].c_str());
                soln = next_soln;
                remaining_items = next_remaining;
                // found lexicographically smallest solution, break now
                found_next = true;
                break;
            }
        }
        assert (found_next);
    }
    soln = join_strings(soln, remaining_items[0]);

    return soln;
}

int main()
{
    string prev_soln;
    vector <string> items;
    size_t p = 1;
    for (size_t N = 1;; ++N) {
        for (++p; items.size() < N; ++p) {
            if (is_prime(p)) {
                char buf[99];
                snprintf(buf, sizeof buf, "%zu", p);
                items.push_back(buf);
                break;
            }
        }

        // Try to reuse previous solution (this works for N=11,30,32...)
        string soln;
        if (prev_soln.find(items.back()) != string::npos) {
            soln = prev_soln;
        } else {
            soln = smallest_containing_string(items);
        }
        printf("%s\n", soln.c_str());
        prev_soln = soln;
    }
}

Essayez-le en ligne!

Et la version exclusive sur TIO . Désolé, mais je n'ai pas joué à ces programmes et il y a une limite de longueur de message.

japh
la source
Sans rapport: au lieu de debug_dummy, vous pouvez utiliser #define DEBUG(x) void(0).
user202729
Incroyable! J'espérais une réponse C / C ++. J'essaierai de l'exécuter dès que possible! De combien de RAM disposez-vous sur votre machine? J'essaierai de maximiser la quantité disponible pour votre script lorsque je le comparerai correctement.
max
utilisateur: j'utilise debug_dummy parce que je veux que le type des arguments soit vérifié et évalué même lorsque le débogage est désactivé.
2018
@maxb: également 16 Go. Mais il N=32me faut seulement environ 500 Mo, je pense.
japh
1
Grande amélioration! Je l'exécuterai plus tard dans la journée. Le code que vous avez collé ci-dessus ne comprend pas le main, mais je l'ai trouvé à partir du lien TIO.
max
13

JavaScript (Node.js) , marque 24 en 241 secondes

Résultats

  • une(1) àune(21)
  • une(22)=231129413434717353759619679
  • une(23)=23112941343471735359619678379
  • une(1) àune(24)

Algorithme

Il s'agit d'une recherche récursive qui essaie toutes les manières possibles de fusionner des nombres et finalement trie les listes résultantes dans l'ordre lexicographique lorsqu'un nœud feuille est atteint.

XykXkykykX

Au début de chaque itération, toute entrée qui peut être trouvée dans une autre entrée est supprimée de la liste.

Une accélération significative a été obtenue en gardant une trace des nœuds visités, afin que nous puissions abandonner tôt lorsque différentes opérations conduisent à la même liste.

Une petite accélération a été obtenue en mettant à jour et en restaurant la liste lorsque cela était possible plutôt qu'en générant une copie, comme suggéré par un utilisateur anonyme Neil.

Exemple

n=7[2,3,5,7,11,13,17]

[]                        // start with an empty list
[ 2 ]                     // append 2
[ 2, 3 ]                  // append 3
[ 2, 3, 5 ]               // append 5
[ 2, 3, 5, 7 ]            // append 7
[ 2, 3, 5, 7, 11 ]        // append 11
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13 ]    // append 13
[ 2, 5, 7, 11, 13 ]       // remove 3, which appears in 13
  [ 2, 5, 7, 113, 13 ]    //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 7, 113 ]        //   remove 13, which now appears in 113
  [ 2, 5, 7, 113, 17 ]    //   append 17
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 7, which appears in 17
  --> leaf node: 1131725  //   new best result
[ 2, 5, 7, 11, 13, 17 ]   // append 17
[ 2, 5, 11, 13, 17 ]      // remove 7, which appears in 17
  [ 2, 5, 113, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 13, which now appears in 113
                          //   abort because this node was already visited
                          //   (it was a leaf node anyway, so we don't save much here)
  [ 2, 5, 117, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 17 into 117
  [ 2, 5, 117, 13 ]       //   remove 17, which now appears in 117
  --> leaf node: 1171325  //   not better than the previous one
--> leaf node: 11131725   // not better than the previous one

Code

Essayez-le en ligne!

let f = n => {
  let visited = {},
      a, d, k, best, search;

  // build the list of primes, as strings
  for(a = [ '2' ], n--, k = 3; n; k++) {
    for(d = k; k % (d -= 2);) {}
    d == 1 && n-- && a.push(k + '');
  }

  best = a.join('');

  // recursive search function
  (search = (a, n = 0, r = []) => {
    let x, y, i, j, k, s;

    // remove all entries in r[] that can be found in another entry
    r = r.filter((p, i) => !r.some((q, j) => i != j && ~q.indexOf(p)));

    // abort early if this node was already visited
    if(visited[r]) {
      return;
    }

    // otherwise, mark it as visited
    visited[r] = 1;

    // walk through all distinct pairs (x, y) in r[]
    for(i = 0; i < r.length; i++) {
      for(j = i + 1; j < r.length; j++) {
        x = r[i];
        y = r[j];

        // try to merge x and y if:
        // 1) the first k digits of x equal the last k digits of y
        for(k = 1; x.slice(0, k) == y.slice(-k); k++) {
          r[i] = y + x.slice(k);
          search(a, n, r);
        }

        // or:
        // 2) the first k digits of y equal the last k digits of x
        for(k = 1; y.slice(0, k) == x.slice(-k); k++) {
          r[i] = x + y.slice(k);
          search(a, n, r);
        }
        r[i] = x;
      }
    }

    if(x = a[n]) {
      // there are other primes to process, so go on with the next one
      search(a, n + 1, [...r, x]);
    }
    else {
      // this is a leaf node: see if we've improved our current score
      s = r.join('');

      if(s.length <= best.length) {
        s = r.sort().join('');

        if(s.length < best.length || s < best) {
          best = s;
        }
      }
    }
  })(a);

  return best;
}
Arnauld
la source
2
Belle recherche d'emploi (18).
ouflak
Très bonne réponse! Je ne suis pas un expert en JavaScript, mais l'algorithme semble aller dans le sens de ce qui a été lié par Kevin Cruijssen. Belle explication de l'algorithme, il est facile de voir que vous trouverez la valeur minimale. Je n'ai pas personnellement effectué d'analyse comparative dans JS, puis-je l'exécuter dans mon navigateur ou existe-t-il une autre manière préférée de le faire?
max
@maxb Je ne recommanderais pas d'exécuter ceci dans un navigateur, car cela va le geler. Il est destiné à être exécuté avec Node.js (comme il le fait sur TIO).
Arnauld
10

Solveur Concorde TSP , marque 84 en 299 secondes

Eh bien… je me sens stupide de ne l'avoir réalisé que maintenant.

Tout cela est essentiellement un problème de vendeur ambulant . Pour chaque paire de nombres premiers pet q, ajoutez un bord dont le poids est le nombre de chiffres ajoutés par q(en supprimant les chiffres qui se chevauchent). En outre, ajoutez un bord initial à chaque nombre premier p, dont le poids est la longueur dep . Le chemin de vendeur itinérant le plus court correspond à la longueur du plus petit nombre de confinement principal.

Ensuite, un solveur TSP de qualité industrielle, tel que Concorde , résoudra rapidement ce problème.

Cette entrée devrait probablement être considérée comme non concurrente.

Résultats

Le solveur arrive à N=350environ 20 heures CPU. Les résultats complets sont trop longs pour un poste SE, et l'OEIS ne veut pas autant de termes de toute façon. Voici les 200 premiers:

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
31 101031071091131272329417343475359619678378979
32 101031071091131272329417343475359619678378979
33 10103107109113127137232941734347535961967838979
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961967838979
36 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979
37 1010310710911312713713914915157232941734347535961967838979
38 1010310710911312713713914915157163232941734347535961967838979
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
41 1010310710911312713713914915157163167173232941794347535961978389
42 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181978389
43 101031071091131271371391491515716316723294173434753596181917978389
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
46 10103107109113127137139149151571631671731791819193232941974347535961998389
47 101031071091271313714915157163167173179181919321139232941974347535961998389
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347535961998389
49 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232272941974347535961998389
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347535961998389
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347535961998389
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347535961998389
53 1010310710912713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347535961998389
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347535961998389
55 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972574347535961998389
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347535961998389
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535961998389
60 101031071091271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343475359619989
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
63 1010307107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
64 10103071071091271311371391491515716316721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
65 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
66 10103071071091271311371491515716313921167223317322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
67 10103071071091271311371491515716313921167223317322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
68 1010307107109127131137149151571631392116722331732277229323924179251819193257263269281972833743475359619989
69 1010307107109127131137149151571631392116722331732277229323924179251819193257263269281972833743475359619989
70 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919325726326928197283374347534959619989
71 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919325726337269281972834743534959619989
72 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919337257263472692819728349435359619989
73 10103071071091271311371491515716313921167223317322772293372392417925181919347257263492692819728353594367619989
74 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919337347257263492692819728353594367619989
75 1010307107109127131137313914915157163211672233173227722933792392417925181919347257263492692819728353594367619989
76 101030710710912713113731391491515716321167223317322772293379239241792518191934725726349269281972835359438367619989
77 101030710710912713113731391491515716321167223317337922772293472392417925181919349257263535926928197283674383896199
78 1010307107109127131137313914915157163211672233173379227722934723972417925181919349257263535926928197283674383896199
79 101030710710912713113731391491515721163223317337922772293472397241672517925726349269281819193535928367401974383896199
80 101030710710912713113731391491515721163223317337922772293472397241672517925726349269281819193535928367401974094383896199
81 101030710710912713113731391491515721163223317337922772293472397241916725179257263492692818193535928367401974094383896199
82 1010307107109127131137313914915157223317322772293379239724191634725167257263492692817928353594018193674094211974383896199
83 1010307107109127131137313914922331515722772293379239724191634725167257263492692817353592836740181938389409421197431796199
84 101030710710912713113731391492233151572277229323972419163472516725726349269281735359283674018193838940942119743179433796199
85 101030710710912713113731391492233151572277229323924191634725167257263492692817353592836740181938389409421197431794337943976199
86 1010307107109127131137313914922331515722772293239241916347251672572634926928173535928367401819383894094211974317943379443976199
87 1010307107109127131137313914922331515722772293239241916347251672572634926928173535928367401819383894094211974317943379443974496199
88 1010307107109127131137313914922331515722772293239241916347251672572634926928173535928367401819383894094211974317943379443974494576199
89 10103071071091271311373139149223315157227722932392419163472516725726349269281735359283674018193838940942119743179433794439744945746199
90 10103071071091271311373139149223315157227722932392419163251672572634726928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389
91 10103071071091271311373139149223315157227722932392419163251672572634726928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467
92 101030710710912713113731391492233151572277229323924191632516725726347926928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467
93 101030710710912713113731391492233151572277229323924191632516725726347926928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467487
94 101030710710912713113731392233149151572277229323924191632516725726347926928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467487
95 1010307107109127131137313922331491515722772293239241916325167257263479269281734928353594018193674094211974317943379443974499457461994638389467487
96 1010307107109127131137313922331491515722772293239241916325167257263269281734792834940181935359409421197431794337944397449945746199463674674875038389
97 1010307107109127131137313922331491515722772293239241916325167257263269281734792834940181935359409421197431794337944397449945746199463674674875038389509
98 101030710710912713113732233139227722932392419149151572516325726326928167283479401734940942118193535943179433794439744994574619746367467487503838950952199
99 1010307107109127131137322331392277229324191491515725163257263269281672834794017349409421181935359431794337944394499457461974636746748750383895095219952397
100 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728347940173494094211394317943379443944994574618191935359463674674875038389509521975239754199
101 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728347401734940942113943179433794439449945746181919353594636746748750383895095219752397541995479
102 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728347401734940942113943179433794439449945746181919353594636746748750383895095219752397541995479557
103 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728340173474094211394317943379443944945746181919349946353594674875036750952197523975419954795575638389
104 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728340173474094211394317943379443944945746181919349946353594674875036750952197523975419954795575638389569
105 101030710722331109227127722932413137325149151571632572632692816728340173474094211394317943379443944945746181919349946353594674875036750952197523975419954795575638389569
106 1010307107223311092271277229324131373251491515716325726326928167283401734740942113943179433794439449457461819193499463535946748750367509521975239754199547955775638389569
107 1010307107223311092271277229324131373251491515716325726326928167283401734740942113943179433794439449457461819193499463535946748750367509521975239754199547955775638389569587
108 10103071072233110922712772293241313732514915157163257263269281672834017340942113943179433794439449457461819193474634994674875035359367509521975239754199547955775638389569587
109 10103071072233110922712772293241313732514915157163257263269281672834017340942113943179433794439449457461819193474634994674875035359367509521975239754199547955775638389569587599
110 1010307223311072271092293241277251313732571491515726326928163283401674094211394317343379443944945746179463474674875034995095218191935359367523975419754795577563838956958759960199
111 1010307223311072271092293241277251313732571491515726326928163283401674094211394317343379443944945746179463474674875034995095218191935359367523975419754795577563838956958759960199607
112 1010307223311072271092293241277251491515716325726326928167283401734094211313734317943379443944945746139463474674875034995095218191935359367523975419754795577563838956958759960199607
113 22331101030722710722932410925127725714915157263269281632834016740942113137343173433794439449457461394634746748750349950952181919353593675239754197547955775638389569587599601996076179
114 2233110103072271072293241092512571277263269281491515728340163409421131373431734337944394494574613946347467487503499509521675239754191819353593675479557756383895695875996019760761796199
115 22331010307227107229324109251257126311277269281491515728340163409421131373431734337944394494574613946347467487503499509521675239754191819353593675479557756383895695875996019760761796199
116 22331010307227107229324109251257126311269281277283401491515740942113137343173433794439449457461394634674875034750952163499523975416754795577563535936756958759960181919383896076179619764199
117 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346748750347509521634995239541675479557756353593675695875996018191938389607617961976419964397
118 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346748750347509521634995239541675475577563535936756958759960181919383896076179619764199643976479
119 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346748750347509521634995239541675475577563535695875935996018191936760761796197641996439764796538389
120 2233101030722710722932410925125712631126928127728340149151574094211313734317344337944945746139463467487503475095216349952395416754755775635356958760181919359367607617961976419964397647965383896599
121 22331010307227107229324109251257126311269281277283401491515740942113137343173443379449457461394634674875034750952163499523954167547557756353569587601819193593676076179641976439764796538389659966199
122 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346734748750349950952163523954167547557756353569587601819193593676076179641976439764796538389659966199
123 2233101030722710722932410925125712631126928127728340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936776076179641976439764796538389659966199
124 2233101030722710722932410925125712631126928127728340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
125 22331010307227107229324109251257126311269127728128340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
126 2233101030701072271092293241251257126311269127728128340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
127 223310103070107092271092293241251257126311269127728128340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
128 223310103070107092271092293241251257191263112691277281283401491515740942113137343173443379449457461394634673474875034995095216352395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
129 22331010307010709227109229324125125719126311269127277281283401491515740942113137343173443379449457461394634673474875034995095216352395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
130 223307010103227092293241072510925712631126912719128128340140942113137331491515727743173443379449457461394634673474875034995095216352395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
131 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314915157277431734433794494574613946346739487503475095216349952395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
132 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314915157277431734433794494574613946346739487503475095216349952395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
133 223307010103227092293241072510925712631126912719128128340140942113137331443173449149457277433794613946346739487503475095215157516349952395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
134 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727743379461394634673948750347509521515751634995239541675475575635356958757760181935936076179641976439764796536776599661996838389
135 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727743379461394634673948750347509521515751634995239541675475575635356958757760181935936076179641976439764796536776599661996838389
136 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314431734491494572774337946139463467394875034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479653677696599661996838389
137 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479653677696599661996838389
138 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314431734491494572773461394634673948743379503475095215157516349952395416754755756353569587577601819359360761796419764397647965367787696599661996838389
139 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479765367787696599661996838389
140 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479765367787696599661996838389809
141 223307010103227092293241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479765367787696599661996838389809
142 223307010103227092293241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572773461394634673948743379503475095214952395415157516349954755756353569587577601676076179641935936439764797653677659966197876968383898098218199
143 223070101032270922932410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727734613946346739487433475034950952149952337954151575163535475575635695875776016760761796419359364396479765367765996619768383898098218199823978769
144 223070101032270922932410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151575163535475575635695875773960167607617964193593643964797653677659966197683838980982181998239769827787
145 223070101032270922924107251092571263112691271912811283401409421131373314431734491457274334613946346734748750349509521499523379541515751635354755756356958757739601676076179641935936439647976536599661976836776980982181998239782778782938389
146 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587577396016760761796419359364396479765367765996619768383976980982181998239827787829389
147 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587577396016760761796419359364396479765365996619768367769809821819982397827787829383985389
148 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587576016760761796419359364396479765365996619768367739769809821819982398277829383985389857787
149 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587576016760761796419359364396479765365966197683677397698098218199823982778293839853898577878599
150 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587576016760761796419359364396479765365966197683677397698098218199823982778293839853857787859986389
151 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151575163535475575635695875760167607617964193593643964797653659661976836773976980982181998239827782938398538577877859986389
152 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383985385778778599863898818199
153 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857787785998638988181998839
154 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857785998638988181998839887787
155 2230701010322709072292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857785998638988181998839887787
156 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857785998638988181998839887787
157 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140942113137331443173449193457274334613946346734748750349509521499523379541515475155756353569587576015760761796419764396479765359365966199683676980982163823978277398293838538577859986389881816778778839887
158 2230701010322709072292410725109257126311269112719128112834014092934211313733144317344919345727433461394634673474875034950952149952337954151547515575635356958757601576076179641976439647976535936596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
159 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140929342113137274314433173344919345746139463467347487503495095214995233735354151547515575635695875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
160 2230701010322709072292410725109257126311269112719128112834014092934211313727431443317334491934574613941463467347487503495095214995233735354151547515575635695875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
161 223070101032270907229241072510925712631126911271912811283401409293421131372743144331733449193457461394146346734748750349475095214995233735354151547515575635695875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
162 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140929342113137274314433173344919345746139414634673474875034947509521499523373535415154751557563569535875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
163 2230701010322709072292410725109257126311269112719128112834014092934211313727431443317334491934574613941463467347487503494750952149952337353541515475155756356953587576015760761796419764396479653593797659661996768367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
164 22307010103227090722924107251092571263112691127128112834014092934211313727431443317334491457461394146346734748750349475095214995233735354151547515575635695358757601576076179641919359379643964797197653659661996768367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
165 223070101032270907229241072510925712631126911271281128340140929342113137274314433173344914574613941463467347487503494750952149952337353541515475155756356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829853838577859986389881816778778839887
166 22307010103227090722924107251092571263112691127128112834014092934211313727431443317334491457461394146346734748750349475095214995233735354151547515575635695358757601576076179641919359379643964797197653659661996768367698098216382397739827782983838538577859986389881816778778839887
167 223070101032270907229241072510925712631126911271281128340140929342113137274314433173344914574613941463467347487503494750952149915152337353541547515575635695358757601576076179641919359379643964797197653659661996768367698098216382397739827782983838538577859986389881816778778839887
168 2230701010322709072292410725109257126311269112712811283401409293421131372743144331733449145746139414634673474875034947509521499151523373535415475155756356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
169 2230701009070922710103229241072510925712631126911272728112834014092934211313733144317344914574334613941463467347487503494750952149915152337515415475575635356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
170 22307010090709227101310322924107251092571263112691127272811283401409293421134431373317344914574334613941463467347487503494750952149915152337515415475575635356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
171 22307010090709227101310191032292410725109257126311269112727281128340140929342113443137331734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
172 22307010090709227101310191021032292410725109257126311269112727281128340140929342113443137331734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
173 223070100907092271013101910210310722924109251257126311269112727281128340140929342113443137331734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
174 223070100907092271013101910210310331107229241092512571263132691127272811283401409293421137334431734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
175 223070100907092271013101910210310331103922924107251092571263132691127272811283401409293421137334431734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
176 223070100907092271013101910210310331103922924104910725109257126313269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
177 223070100907092271013101910210310331103922924104910510725109257126313269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
178 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610725109257126313269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
179 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325107257109263269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
180 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106911072571092632692811272728340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
181 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106911072571087263269281092834012727409293421137334431734494145743346139463467347487503494750952149919352337515154154755756353569535875760157607617964196439647965359379719765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
182 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109112727283401409293421137334431734494145743346139463467347487503494750952149919352337515154154755756353569535875760157607617964196439647965359379719765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
183 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834012727409293421137334431734494145743346139463467347487503494750952149919352337515154154755756353569535875760157607617964196439647965359379719765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
184 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834010971929340941272742113733443173449457433461394634673474875034947509521499193523375151541547557563535695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
185 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834010971929340941272742113733443173449457433461394634673474875034947509521499193523375151541547557563535695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
186 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834010971929340941272742113733443173449457433461394634673474875034947509521499193523375151541547557563535695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
187 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106910725710872632692810911093283401097192934094127274211173344317433449457461373463467347487503494750952149919352337515154157547557563535695358757601635937960761796419764396479765365966199676836769809821677397782398277829838385385778599786389881811398839887787
188 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106910725710872632692810911093283401097192934094111727421123344317334494574337346137463467347487503494750952127514991935235354151575475575635695358757601635937960761796419764396479765365966199676836769809821677397782398277829838385385778599786389881811398839887787
189 1009070101307092232271019102103103310491051061063110392292410691072510872571091109326326928109719283401117274092934211233443131733449411294574337346137463467347487503494750952127514991935235354151575475575635695358757601635937960761796419764396479765365966199676836769809821677397782398277829838385385778599786389881811398839887787
190 10090701013070922322710191021031033104910510610631103922924106910725108725710911093263269281097192834011172740929342112334431317334494112945743373461374634673474875034947509521139523535412751499193547557563569535875760157607617964197643964796535937976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881151816778778839887
191 100907010130709101910210310331049105106106311039223227106910722924108725109110932571097192632692811172728340112334092934211294113137334431734494574337461394634673474875034947509521151153523535412751499193547557563569535875760157607617964197643964796535937976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
192 1009070101307091019102103103310491051061063110392232271069107229241087251091109325710971926326928111727283401123340929342112941131373344317344945743374613946346734748750349475095211511535235354116354751275575635695358757601499193593796076179641976439647976536596619967683676980982157739778239827782983838538578599786389881816778778839887
193 1009070101307092232271019102103103310491051061063110392292410691072510872571091109326326928109711171928340112334092934211294113137274317334433734494574613946346734748750349475095211511535235354127514991935475575635695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821677397782398277829838385385778599786388181163898839887787
194 10090701013070922322710191021031033104910510610631103922924106910725108725710911093263269281097111719283401123340929342112941131372743173344337344945746139463467347487503494750952115115352353541163547512755756356953587576014991935937960761796419764396479765365966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898811816778778839887
195 100907010130709101910210310331049105106106311039223227106910722924108725109110932571097111719263269281123283401129293409411313727421151153443173344945743346139463467347487503494750952116352337353541181187512754755756356953587576014991935937960761796419764396479765365966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
196 100907010130709101910210310331049105106106310691072231103922710872292410911093251097111711232571926326928112928340113137274092934211511534431733449411634574334613946346734748750349475095211811875119352337353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
197 100907010130709101910210310331049105106106310691072231103922710872292410911093251097111711232571926326928112928340113137274092934211511534431733449411634574334613946346734748750349475095211811875119352337353541201275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
198 1009070101307091019102103103310491051061063106910710872231103922710911093229241097111711232511292571926326928113132834011511534092934211634431733449411811872743345746137346346734748750349475095211935233751201213953535412754755756356958757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
199 10090701013070910191021031033104910510610631069107108710911039223110932271097111711232292411292511313257192632692811511532834011634092934211811872743173344334494119345746137346346734748750349475095212012139523375121754127547557563535695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
200 100907010130709101910210310331049105106106310691071087109109311039110971117112322711292292411313251151153257192632692811632834011811872740929342119344317334494120121373457433461394634673474875034947509521217512233752353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887

Code

Voici un script Python 3 pour appeler le solveur Concorde encore et encore jusqu'à ce qu'il construise les solutions.

Concorde est gratuit pour un usage académique. Vous pouvez télécharger un binaire exécutable de Concorde construit avec leur propre package de programmation linéaire QSopt, ou si vous avez en quelque sorte une licence pour IBM CPLEX, vous pouvez construire Concorde à partir de la source pour utiliser CPLEX.

#!/usr/bin/env python3
'''
Find prime containment numbers (OEIS A054261) using the Concorde
TSP solver.

The n-th prime containment number is the smallest natural number
which, when written in decimal, contains the first n primes.
'''

import argparse
import itertools
import os
import sys
import subprocess
import tempfile

def join_strings(a, b):
  '''Shortest string that starts with a and ends with b.'''
  for overlap in range(min(len(a), len(b)), 0, - 1):
    if a[-overlap:] == b[:overlap]:
      return a + b[overlap:]
  return a + b

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  d = 2
  while d*d <= n:
    if n % d == 0:
      return False
    d += 1
  return True

def prime_list_reduced(n):
  '''First n primes, with primes that are substrings of other
     primes removed.'''
  primes = []
  p = 2
  while len(primes) < n:
    if is_prime(p):
      primes.append(p)
    p += 1

  reduced = []
  for p in primes:
    if all(p == q or str(p) not in str(q) for q in primes):
      reduced.append(p)
  return reduced

# w_med is an offset for actual weights
# (we use zero as a dummy weight when splitting nodes)
w_med = 10**4
# w_big blocks edges from being taken
w_big = 10**8

def gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates):
  '''Generate TSP formulation in TSPLIB format.

     Returns a TSPLIB format string that encodes the length of the
     shortest string starting with 'prefix' and containing all 'strs'.

     start_candidates is the set of strings that solution paths are
     allowed to start with.
     '''
  N = len(strs)

  # Concorde only supports symmetric TSPs. Therefore we encode the
  # asymmetric TSP instances by doubling each node.
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  # 2*(N+1) nodes because we add an artificial node with index N
  # for the start/end of the tour. This node is also doubled.
  num_nodes = 2*(N+1)

  # Ensure special offsets are big enough
  assert w_med > len(prefix) + sum(map(len, strs))
  assert w_big > w_med * num_nodes

  weight = [[w_big] * num_nodes for _ in range(num_nodes)]
  def edge(src, dest, w):
    weight[node_out(src)][node_in(dest)] = w
    weight[node_in(dest)][node_out(src)] = w

  # link every incoming node with the matching outgoing node
  for i in range(N+1):
    weight[node_in(i)][node_out(i)] = 0
    weight[node_out(i)][node_in(i)] = 0

  for i, p in enumerate(strs):
    if p in start_candidates:
      prefix_w = len(join_strings(prefix, p))
      # Initial length
      edge(N, i, w_med + prefix_w)
    else:
      edge(N, i, w_big)
    # Link every str to the end to allow closed tours
    edge(i, N, w_med)

  for i, p in enumerate(strs):
    for j, q in enumerate(strs):
      if i != j:
        w = len(join_strings(p, q)) - len(p)
        edge(i, j, w_med + w)

  out = '''NAME: prime-containment-number
TYPE: TSP
DIMENSION: %d
EDGE_WEIGHT_TYPE: EXPLICIT
EDGE_WEIGHT_FORMAT: FULL_MATRIX
EDGE_WEIGHT_SECTION
''' % num_nodes

  out += '\n'.join(
    ' '.join(str(w) for w in row)
    for row in weight
  ) + '\n'

  out += 'EOF\n'
  return out

def parse_tour_soln(prefix, strs, text):
  '''This constructs the solution from Concorde's 'tour' output format.
     The format simply consists of a permutation of the graph nodes.'''
  N = len(strs)
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  nums = list(map(int, text.split()))

  # The file starts with the number of nodes
  assert nums[0] == 2*(N+1)
  nums = nums[1:]

  # Then it should list a permutation of all nodes
  assert len(nums) == 2*(N+1)

  # Find and remove the artificial starting point
  start = nums.index(node_out(N))
  nums = nums[start+1:] + nums[:start]
  # Also find and remove the end point
  if nums[-1] == node_in(N):
    nums = nums[:-1]
  elif nums[0] == node_in(N):
    # Tour printed in reverse order
    nums = reversed(nums[1:])
  else:
    assert False, 'bad TSP tour'
  soln = prefix
  for i in nums:
    # each prime appears in two adjacent nodes, pick one arbitrarily
    if i % 2 == 0:
      soln = join_strings(soln, strs[i // 2])
  return soln

def scs_length(prefix, strs, start_candidates, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find length of shortest containing string using one call to Concorde.'''
  # Concorde's small-input solver CCHeldKarp, tends to fail with the
  # cryptic error message 'edge too long'. Brute force instead
  if len(strs) <= 5:
    best = len(prefix) + sum(map(len, strs))
    for perm in itertools.permutations(range(len(strs))):
      if perm and strs[perm[0]] not in start_candidates:
        continue
      soln = prefix
      for i in perm:
        soln = join_strings(soln, strs[i])
      best = min(best, len(soln))
    return best

  with tempfile.TemporaryDirectory() as tempdir:
    concorde_path = os.path.join(os.getcwd(), concorde_path)
    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib'), 'w') as f:
      f.write(gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates))

    if concorde_verbose:
      subprocess.check_call([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                            cwd=tempdir)
    else:
      try:
        subprocess.check_output([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                                cwd=tempdir, stderr=subprocess.STDOUT)
      except subprocess.CalledProcessError as e:
        print('Concorde exited with error code %d\nOutput log:\n%s' %
              (e.returncode, e.stdout.decode('utf-8', errors='ignore')),
              file=sys.stderr)
        raise

    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.sol'), 'r') as f:
      soln = parse_tour_soln(prefix, strs, f.read())
    return len(soln)

# Cache results from previous N's
pcn_solve_cache = {} # (prefix fragment, strs) -> soln

def pcn(n, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find smallest prime containment number for first n primes.'''
  strs = list(map(str, prime_list_reduced(n)))
  target_length = scs_length('', strs, strs, concorde_path, concorde_verbose)

  def solve(prefix, strs, target_length):
    if not strs:
      return prefix

    # Extract part of prefix that is relevant to cache
    prefix_fragment = ''
    for s in strs:
      next_prefix = join_strings(prefix, s)
      overlap = len(prefix) + len(s) - len(next_prefix)
      fragment = prefix[len(prefix) - overlap:]
      if len(fragment) > len(prefix_fragment):
        prefix_fragment = fragment
    fixed_prefix = prefix[:len(prefix) - len(prefix_fragment)]
    assert fixed_prefix + prefix_fragment == prefix

    cache_key = (prefix_fragment, tuple(strs))
    if cache_key in pcn_solve_cache:
      return fixed_prefix + pcn_solve_cache[cache_key]

    # Not in cache, we need to calculate it.
    soln = None

    # Try strings in ascending order until scs_length reports a
    # solution with equal length. That string will be the
    # lexicographically smallest extension of our solution.
    next_prefixes = sorted((join_strings(prefix, s), s)
                           for s in strs)

    # Try first string -- often works
    next_prefix, _ = next_prefixes[0]
    next_prefixes = next_prefixes[1:]
    next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
    next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
                             concorde_path, concorde_verbose)
    if next_length == target_length:
      soln = solve(next_prefix, next_strs, next_length)
    else:
      # If not, do a weighted binary search on remaining strings
      while len(next_prefixes) > 1:
        split = (len(next_prefixes) + 2) // 3
        group = next_prefixes[:split]
        group_length = scs_length(prefix, strs, [s for _, s in group],
                                  concorde_path, concorde_verbose)
        if group_length == target_length:
          next_prefixes = group
        else:
          next_prefixes = next_prefixes[split:]
      if next_prefixes:
        next_prefix, _ = next_prefixes[0]
        next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
        check = True
        # Uncomment if paranoid
        #next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
        #                         concorde_path, concorde_verbose)
        #check = (next_length == target_length)
        if check:
          soln = solve(next_prefix, next_strs, target_length)

    assert soln is not None, (
      'solve failed! prefix=%r, strs=%r, target_length=%d' %
      (prefix, strs, target_length))

    pcn_solve_cache[cache_key] = soln[len(fixed_prefix):]
    return soln

  return solve('', strs, target_length)

parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('--concorde', type=str, default='concorde',
                    help='path to Concorde binary')
parser.add_argument('--verbose', action='store_true',
                    help='dump all Concorde output')
parser.add_argument('--start', type=int, metavar='N', default=1,
                    help='start at this N')
parser.add_argument('--end', type=int, metavar='N', default=1000000,
                    help='stop after this N')
parser.add_argument('--one', type=int, metavar='N',
                    help='solve for a single N and exit')

def main():
  opts = parser.parse_args(sys.argv[1:])

  if opts.one is not None:
    opts.start = opts.one
    opts.end = opts.one

  prev_soln = ''
  for n in range(opts.start, opts.end+1):
    primes = map(str, prime_list_reduced(n))
    if all(p in prev_soln for p in primes):
      soln = prev_soln
    else:
      soln = pcn(n, opts.concorde, opts.verbose)

    print('%d %s' % (n, soln))
    sys.stdout.flush()
    prev_soln = soln

if __name__ == '__main__':
  main()
japh
la source
C'est tout simplement incroyable. Comme le problème est NP-complet, je savais que vous pouviez le transformer théoriquement en TSP. Mais utiliser un solveur TSP est vraiment intelligent! Je devrai le comparer plus tard dans la journée, mais je suis sûr que ce sera la solution la plus rapide à ce jour.
max
J'ai également vérifié que vos deux solutions donnent le même résultat pour les 62 premiers nombres. De combien de mémoire cette solution a-t-elle besoin? Je pourrais mettre mon ancien ordinateur portable au travail pendant quelques jours.
max
Je suis aussi étonné que toi. Avant cela, mon modèle mental de solveurs TSP se limitait à des scénarios impliquant des visites à distance euclidienne des villes, des aéroports, des entrepôts, etc. Trouver ces chaînes est un problème combinatoire difficile (les poids des bords sont tous 1, 2 et 3). Le Concorde les tranche comme du beurre chaud.
2018
Le solveur Concorde utilise même moins de RAM que le script Python qui le supervise.
2018 à 8h03
Des résultats impressionnants! J'ai déjà visité le site Concorde à cause de ce défi avant de poster ceci, mais j'ai quand même pensé que cela ne valait probablement pas la peine de l'essayer. Quoi qu'il en soit, je suis certain que OEIS est intéressé par tous vos résultats. Donnez-les simplement sous forme de fichier b pour les résultats contenant au plus 1 000 chiffres et sous forme de fichier pour les résultats plus longs.
Christian Sievers
9

Propre , marque 25 en 231 secondes (score officiel)

Résultats

  • 1 < n <= 23en 42 36 secondes sur TIO
  • n = 24 (2311294134347173535961967837989)en 32 24 secondes localement
  • n = 25 (23112941343471735359619678378979)en 210160 secondes localement
  • n = 1a n = 25été trouvé en 231 secondes pour le score officiel (édité par maxb)

Cela utilise une approche similaire à la solution JS d'Arnauld basée sur le rejet récursif de permutation, en utilisant un ensemble d'arbres spécialisé pour gagner beaucoup de vitesse.

Pour chaque nombre premier qui doit correspondre au nombre:

  1. vérifier si le premier est une sous-chaîne d'un autre premier, et si oui, supprimez-le
  2. trier la liste actuelle des sous-chaînes principales, la joindre et l'ajouter à l'ensemble d'arbres équilibré
  3. vérifier si des nombres premiers tiennent sur le devant de tous les autres, et si oui, les rejoindre - en ignorant les éléments adjacents déjà ordonnés qui sont testés de toute façon par l'étape de rejet

Ensuite, pour chaque paire de sous-chaînes que nous avons jointes, supprimez toutes les sous-chaînes de cette paire jointe de la liste des sous-chaînes et reprenez-la.

Une fois qu'aucune sous-chaîne supplémentaire ne peut être jointe à d'autres sous-chaînes sur n'importe quel bras de notre récursivité, nous utilisons l'ensemble d'arbres déjà ordonné pour trouver rapidement le nombre le plus bas contenant les sous-chaînes.

Points à améliorer / à ajouter:

  • Éloignez-vous de la permutation de tout l'espace de recherche, générez des candidats à la place
  • Génération de candidats basée sur un préfixe / suffixe pour permettre la mémorisation
  • Multithreading, répartit le travail sur les préfixes de manière égale au nombre de threads

Il y a eu de fortes baisses de performances entre 19 -> 20et en 24 -> 25raison de la manipulation en double par l'étape d'essai de fusion et l'étape de rejet du candidat, mais celles-ci ont été corrigées.

Optimisations:

  • removeOverlap est conçu pour toujours donner un ensemble de sous-chaînes déjà dans l'ordre optimal
  • uInsertMSpec réduit check-if-is-member et insert-new-member à une traversée d'ensemble
  • containmentNumbersSt vérifie si la solution précédente fonctionne pour un nouveau numéro
module main
import StdEnv,StdOverloadedList,_SystemEnumStrict
import Data.List,Data.Func,Data.Maybe,Data.Array
import Text,Text.GenJSON

// adapted from Data.Set to work with a single specific type, and persist uniqueness
:: Set a = Tip | Bin !Int a !.(Set a) !.(Set a)
derive JSONEncode Set
derive JSONDecode Set

delta :== 4
ratio :== 2

:: NumberType :== String

:: SetType :== NumberType

//uSingleton :: SetType -> Set
uSingleton x :== (Bin 1 x Tip Tip)

// adapted from Data.Set to work with a single specific type, and persist uniqueness
uFindMin :: !.(Set .a) -> .a
uFindMin (Bin _ x Tip _) = x
uFindMin (Bin _ _ l _)   = uFindMin l

uSize set :== case set of
	Tip = (0, Tip)
	s=:(Bin sz _ _ _) = (sz, s)
	
uMemberSpec :: String !u:(Set String) -> .(.Bool, v:(Set String)), [u <= v]
uMemberSpec x Tip = (False, Tip)
uMemberSpec x set=:(Bin s y l r)
	| sx < sy || sx == sy && x < y
		# (t, l) = uMemberSpec x l
		= (t, Bin s y l r)
		//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceL y l r)
	| sx > sy || sx == sy && x > y
		# (t, r) = uMemberSpec x r
		= (t, Bin s y l r)
		//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceR y l r)
	| otherwise = (True, set)
where
	sx = size x
	sy = size y

uInsertM :: !(a a -> .Bool) -> (a u:(Set a) -> v:(.Bool, w:(Set a))), [v u <= w]
uInsertM cmp = uInsertM`
where
	//uInsertM` :: a (Set a) -> (Bool, Set a)
	uInsertM` x Tip = (False, uSingleton x)
	uInsertM` x set=:(Bin _ y l r)
		| cmp x y//sx < sy || sx == sy && x < y
			# (t, l) = uInsertM` x l
			= (t, uBalanceL y l r)
			//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceL y l r)
		| cmp y x//sx > sy || sx == sy && x > y
			# (t, r) = uInsertM` x r
			= (t, uBalanceR y l r)
			//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceR y l r)
		| otherwise = (True, set)
		
uInsertMCmp :: a !u:(Set a) -> .(.Bool, v:(Set a)) | Enum a, [u <= v]
uInsertMCmp x Tip = (False, uSingleton x)
uInsertMCmp x set=:(Bin _ y l r)
	| x < y
		# (t, l) = uInsertMCmp x l
		= (t, uBalanceL y l r)
		//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceL y l r)
	| x > y
		# (t, r) = uInsertMCmp x r
		= (t, uBalanceR y l r)
		//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceR y l r)
	| otherwise = (True, set)

uInsertMSpec :: NumberType !u:(Set NumberType) -> .(.Bool, v:(Set NumberType)), [u <= v]
uInsertMSpec x Tip = (False, uSingleton x)
uInsertMSpec x set=:(Bin sz y l r)
	| sx < sy || sx == sy && x < y
		#! (t, l) = uInsertMSpec x l
		= (t, uBalanceL y l r)
		//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceL y l r)
	| sx > sy || sx == sy && x > y
		#! (t, r) = uInsertMSpec x r
		= (t, uBalanceR y l r)
		//= (t, Bin sz y l r)
		//= (t, if(t)(\y` l` r` = Bin sz y` l` r`) uBalanceR y l r)
	| otherwise = (True, set)
where
	sx = size x
	sy = size y

// adapted from Data.Set to work with a single specific type, and persist uniqueness
uBalanceL :: .a !u:(Set .a) !v:(Set .a) -> w:(Set .a), [v u <= w]
//a .(Set a) .(Set a) -> .(Set a)
uBalanceL x Tip Tip
	= Bin 1 x Tip Tip
uBalanceL x l=:(Bin _ _ Tip Tip) Tip
	= Bin 2 x l Tip
uBalanceL x l=:(Bin _ lx Tip (Bin _ lrx _ _)) Tip
	= Bin 3 lrx (Bin 1 lx Tip Tip) (Bin 1 x Tip Tip)
uBalanceL x l=:(Bin _ lx ll=:(Bin _ _ _ _) Tip) Tip
	= Bin 3 lx ll (Bin 1 x Tip Tip)
uBalanceL x l=:(Bin ls lx ll=:(Bin lls _ _ _) lr=:(Bin lrs lrx lrl lrr)) Tip
	| lrs < ratio*lls
		= Bin (1+ls) lx ll (Bin (1+lrs) x lr Tip)
	# (lrls, lrl) = uSize lrl
	# (lrrs, lrr) = uSize lrr
	| otherwise
		= Bin (1+ls) lrx (Bin (1+lls+lrls) lx ll lrl) (Bin (1+lrrs) x lrr Tip)
uBalanceL x Tip r=:(Bin rs _ _ _)
	= Bin (1+rs) x Tip r
uBalanceL x l=:(Bin ls lx ll=:(Bin lls _ _ _) lr=:(Bin lrs lrx lrl lrr)) r=:(Bin rs _ _ _)
	| ls > delta*rs
		| lrs < ratio*lls
			= Bin (1+ls+rs) lx ll (Bin (1+rs+lrs) x lr r)
		# (lrls, lrl) = uSize lrl
		# (lrrs, lrr) = uSize lrr
		| otherwise
			= Bin (1+ls+rs) lrx (Bin (1+lls+lrls) lx ll lrl) (Bin (1+rs+lrrs) x lrr r)
	| otherwise
		= Bin (1+ls+rs) x l r
uBalanceL x l=:(Bin ls _ _ _) r=:(Bin rs _ _ _)
	= Bin (1+ls+rs) x l r

// adapted from Data.Set to work with a single specific type, and persist uniqueness
uBalanceR :: .a !u:(Set .a) !v:(Set .a) -> w:(Set .a), [v u <= w]
uBalanceR x Tip Tip
	= Bin 1 x Tip Tip
uBalanceR x Tip r=:(Bin _ _ Tip Tip)
	= Bin 2 x Tip r
uBalanceR x Tip r=:(Bin _ rx Tip rr=:(Bin _ _ _ _))
	= Bin 3 rx (Bin 1 x Tip Tip) rr
uBalanceR x Tip r=:(Bin _ rx (Bin _ rlx _ _) Tip)
	= Bin 3 rlx (Bin 1 x Tip Tip) (Bin 1 rx Tip Tip)
uBalanceR x Tip r=:(Bin rs rx rl=:(Bin rls rlx rll rlr) rr=:(Bin rrs _ _ _))
	| rls < ratio*rrs
		= Bin (1+rs) rx (Bin (1+rls) x Tip rl) rr
	# (rlls, rll) = uSize rll
	# (rlrs, rlr) = uSize rlr
	| otherwise
		= Bin (1+rs) rlx (Bin (1+rlls) x Tip rll) (Bin (1+rrs+rlrs) rx rlr rr)
uBalanceR x l=:(Bin ls _ _ _) Tip
	= Bin (1+ls) x l Tip
uBalanceR x l=:(Bin ls _ _ _) r=:(Bin rs rx rl=:(Bin rls rlx rll rlr) rr=:(Bin rrs _ _ _))
	| rs > delta*ls
		| rls < ratio*rrs
			= Bin (1+ls+rs) rx (Bin (1+ls+rls) x l rl) rr
		# (rlls, rll) = uSize rll
		# (rlrs, rlr) = uSize rlr
		| otherwise
			= Bin (1+ls+rs) rlx (Bin (1+ls+rlls) x l rll) (Bin (1+rrs+rlrs) rx rlr rr)	
	| otherwise
		= Bin (1+ls+rs) x l r
uBalanceR x l=:(Bin ls _ _ _) r=:(Bin rs _ _ _)
	= Bin (1+ls+rs) x l r
		
primes :: [Int]
primes =: [2: [i \\ i <- [3, 5..] | let
		checks :: [Int]
		checks = TakeWhile (\n . i >= n*n) primes
	in All (\n . i rem n <> 0) checks]]

primePrefixes :: [[NumberType]]
primePrefixes =: (Scan removeOverlap [|] [toString p \\ p <- primes])

removeOverlap :: !u:[NumberType] NumberType -> v:[NumberType], [u <= v]
removeOverlap [|] nsub = [|nsub]
removeOverlap [|h: t] nsub
	| indexOf h nsub <> -1
		= removeOverlap t nsub
	| nsub > h
		= [|h: removeOverlap t nsub]
	| otherwise
		= [|nsub, h: Filter (\s = indexOf s nsub == -1) t]

tryMerge :: !NumberType !NumberType -> .Maybe .NumberType
tryMerge a b = first_prefix (max (size a - size b) 0)
where
	sa = size a - 1
	max_len = min sa (size b - 1)
	first_prefix :: !Int -> .Maybe .NumberType
	first_prefix n
		| n > max_len
			= Nothing
		| b%(0,sa-n) == a%(n,sa)
			= Just (a%(0,n-1) +++. b)
		| otherwise
			= first_prefix (inc n)

mergeString :: !NumberType !NumberType -> .NumberType
mergeString a b = first_prefix (max (size a - size b) 0) 
where
	sa = size a - 1
	first_prefix :: !Int -> .NumberType
	first_prefix n
		| b%(0,sa-n) == a%(n,sa)
			= a%(0,n-1) +++. b
		| n == sa
			= a +++. b
		| otherwise
			= first_prefix (inc n)
	
// todo: keep track of merges that we make independent of the resulting whole number
mapCandidatePermsSt :: ![[NumberType]] !u:(Set .NumberType) -> v:(Set NumberType), [u <= v]
mapCandidatePermsSt [|] returnSet = returnSet
mapCandidatePermsSt [h:t] returnSet
	#! (mem, returnSet) = uInsertMSpec (foldl mergeString "" h) returnSet
	= let merges = [removeOverlap h y \\ [x:u=:[_:v]] <- tails h, (Just y) <- Map (tryMerge x) v ++| Map (flip tryMerge x) u]
	in (mapCandidatePermsSt t o if(mem) id (mapCandidatePermsSt merges)) returnSet

containmentNumbersSt =: Tl (containmentNumbersSt` primePrefixes "")
where
	containmentNumbersSt` [p:pref] prev
		| all (\e = indexOf e prev <> -1) p
			= [prev: containmentNumbersSt` pref prev]
		| otherwise
			#! next = uFindMin (mapCandidatePermsSt [p] Tip)
			= [next: containmentNumbersSt` pref next]

minFinder :== (\a b = let sa = size a; sb = size b in if(sa == sb) (a < b) (sa < sb))

Start = [(i, ' ', n, "\n") \\ i <- [1..] & n <- containmentNumbersSt]

Essayez-le en ligne!

Enregistrer dans main.icl et compiler avec:clm -fusion -b -IL Dynamics -IL StdEnv -IL Platform main

Cela produit un fichier a.outqui doit être exécuté en tant que a.out -h <heap_size>M -s <stack_size>M, où <heap_size> + <stack_size>est la mémoire qui sera utilisée par le programme en mégaoctets.
(Je règle généralement la pile à 50 Mo, mais j'ai rarement des programmes qui en utilisent autant)

Οurous
la source
2

Scala , score 137

Modifier:

Le code ici simplifie à l'excès le problème.

Ainsi, la solution fonctionne pour de nombreuses entrées, mais pas pour toutes.


Message d'origine:

Idée basique

Problème plus simple

n

Tout d'abord, nous générons l'ensemble des nombres premiers et supprimons tous ceux qui sont déjà des sous-chaînes des autres. Ensuite, nous pouvons appliquer plusieurs règles, c'est-à-dire s'il n'y a qu'une seule chaîne se terminant par une séquence et qu'une seule commençant par cette même séquence, nous pouvons les fusionner. Un autre serait que si une chaîne commence et se termine par la même séquence (comme le fait 101), nous pouvons l'ajouter / l'ajouter à une autre chaîne sans changer sa fin. (Ces règles ne donnent que sous certaines conditions, alors faites attention quand les appliquer)

n

O(n4)

n=128 ), où ces règles ne sont pas suffisantes. Là, il faut se rabattre sur un algorithme prenant du temps NP.

Le vrai problème

k

10103..............
     ^ we want to know this digit

101030nk101031O(nbûche(n))×le temps pour l'algorithme plus simple

Ainsi, si les règles de l'algorithme ci-dessus étaient toujours suffisantes, le problème aurait été démontré qu'il n'était pas NP-difficile.

findSeqn=128

Essayez en ligne

n75

Code

import scala.annotation.tailrec

object Better {
  var primeLength: Int = 3
  var knownLengths: Map[(String,List[String]), Int] = Map()

  def main(args: Array[String]): Unit = {
    val start = System.currentTimeMillis()
    var last = ""
    Stream.from(1).foreach { i =>
      primeLength = primeList(i-1).toString.length
      val pcn = if (last.contains(primeList(i-1).toString)) last else calcPrimeContainingNumber(i)
      last = pcn
      if (System.currentTimeMillis() - start > 300 * 1000) // reached the time limit while calculating the last number, so, discard it and exit
        return
      println(i + ": " + pcn)
    }
  }

  def calcPrimeContainingNumber(n: Int): String = {
    val numbers = relevantNumbers(n)
    generateIntegerContainingSeq(numbers, numOfDigitsRequired(numbers, "X"), "X").tail
  }

  def relevantNumbers(n: Int): List[String] = {
    val primesRaw = primeList.take(n)
    val primes = primesRaw.map(_.toString).foldRight(List[String]())((i, l) => if (l.exists(_.contains(i))) l else i +: l)
    primes.sorted
  }

  @tailrec
  def generateIntegerContainingSeq(numbers: List[String], maxDigits: Int, soFar: String): String = {
    if (numbers.isEmpty)
      return soFar
    val nextDigit = (0 to 9).find(i => numOfDigitsRequired(numbers.filterNot((soFar + i).contains), soFar + i) == maxDigits).get
    generateIntegerContainingSeq(numbers.filterNot((soFar + nextDigit).contains), maxDigits, soFar + nextDigit)
  }

  def numOfDigitsRequired(numbers: List[String], soFar: String): Int = {
    soFar.length +
      knownLengths.getOrElse((soFar.takeRight(primeLength - 1), numbers), {
        val len = findAnySeq(soFar :: numbers).length - soFar.length
        knownLengths += (soFar.takeRight(primeLength - 1), numbers) -> len
        len
      })
  }

  def findAnySeq(numbers: List[String]): String = {
    val tails = numbers.flatMap(_.tails.drop(1).toSeq.dropRight(1)).distinct
      .filter(t => numbers.exists(n1 => n1.startsWith(t) && numbers.exists(n2 => n1 != n2 && n2.endsWith(t)))) // require different strings for start & end
      .sorted.sortBy(-_.length)
    val safeTails = tails.filterNot(t1 => tails.exists(t2 => t1 != t2 && t2.contains(t1))) // all those which are not substring of another tail

    @inline def merge(e: String, s: String, i: Int): String = findAnySeq((numbers diff List(e, s)) :+ (e + s.drop(i)))

    safeTails.foreach { overlap =>
      val ending = numbers.filter(_.endsWith(overlap))
      val starting = numbers.filter(_.startsWith(overlap))
      if (ending.nonEmpty && starting.nonEmpty) {
        if (ending.size == 1 && starting.size == 1 && ending != starting) { // there is really only one way
          return merge(ending.head, starting.head, overlap.length)
        }
        val startingAndEnding = ending.filter(_.startsWith(overlap))
        if (startingAndEnding.nonEmpty && ending.size > 1) {
          return merge(ending.filter(_ != startingAndEnding.head).head, startingAndEnding.head, overlap.length)
        } else if (startingAndEnding.nonEmpty && starting.size > 1) {
          return merge(startingAndEnding.head, starting.filter(_ != startingAndEnding.head).head, overlap.length)
        }
      }
    }

    @inline def startsRelevant(n: String): Boolean = tails.exists(n.startsWith)

    @inline def endsRelevant(n: String): Boolean = tails.exists(n.endsWith)

    safeTails.foreach { overlap =>
      val ending = numbers.filter(_.endsWith(overlap))
      val starting = numbers.filter(_.startsWith(overlap))
      ending.find(!startsRelevant(_)).foreach { e =>
        starting.find(endsRelevant)
          .orElse(starting.headOption) // if there is no relevant starting, take head (ending is already shown to be irrelevant)
          .foreach { s =>
          return merge(e, s, overlap.length)
        }
      }
      ending.find(startsRelevant).foreach { e =>
        starting.find(!endsRelevant(_)).foreach { s =>
          return merge(e, s, overlap.length)
        }
      }
    }
    safeTails.foreach { overlap =>
      val ending = numbers.filter(_.endsWith(overlap))
      val starting = numbers.filter(_.startsWith(overlap))
      return ending
        .flatMap(e => starting.filter(_ != e).map(s => merge(e, s, overlap.length)))
        .minBy(_.length)
    }

    if (tails.nonEmpty)
      throw new Error("that was unexpected :( " + numbers)

    numbers.mkString("")
  }


  // 1k primes
  val primeList = Seq(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
    , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173
    , 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281
    , 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409
    , 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
    , 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659
    , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809
    , 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941
    , 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069
    , 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223
    , 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373
    , 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511
    , 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657
    , 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811
    , 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987
    , 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129
    , 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287
    , 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423
    , 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617
    , 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741
    , 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903
    , 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079
    , 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257
    , 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413
    , 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571
    , 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727
    , 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907
    , 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057
    , 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231
    , 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409
    , 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583
    , 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751
    , 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937
    , 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087
    , 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279
    , 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443
    , 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639
    , 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791
    , 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939
    , 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133
    , 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301
    , 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473
    , 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673
    , 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833
    , 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997
    , 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207
    , 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411
    , 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561
    , 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723
    , 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919)
}

Comme Anders Kaseorg l'a souligné dans les commentaires, ce code peut renvoyer des résultats sous-optimaux (donc incorrects).

Résultats

n[1,200]187188189193

1: 2
2: 23
3: 235
4: 2357
5: 112357
6: 113257
7: 1131725
8: 113171925
9: 1131719235
10: 113171923295
11: 113171923295
12: 1131719237295
13: 11317237294195
14: 1131723294194375
15: 113172329419437475
16: 1131723294194347537
17: 113172329419434753759
18: 2311329417434753759619
19: 231132941743475375961967
20: 2311294134347175375961967
21: 23112941343471735375961967
22: 231129413434717353759619679
23: 23112941343471735359619678379
24: 2311294134347173535961967837989
25: 23112941343471735359619678378979
26: 2310112941343471735359619678378979
27: 231010329411343471735359619678378979
28: 101031071132329417343475359619678378979
29: 101031071091132329417343475359619678378979
30: 101031071091132329417343475359619678378979
31: 101031071091131272329417343475359619678378979
32: 101031071091131272329417343475359619678378979
33: 10103107109113127137232941734347535961967838979
34: 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35: 10103107109113127137139149232941734347535961967838979
36: 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979
37: 1010310710911312713713914915157232941734347535961967838979
38: 1010310710911312713713914915157163232941734347535961967838979
39: 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
40: 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
41: 1010310710911312713713914915157163167173232941794347535961978389
42: 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181978389
43: 101031071091131271371391491515716316723294173434753596181917978389
44: 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
45: 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
46: 10103107109113127137139149151571631671731791819193232941974347535961998389
47: 101031071091271313714915157163167173179181919321139232941974347535961998389
48: 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347535961998389
49: 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232272941974347535961998389
50: 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347535961998389
51: 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347535961998389
52: 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347535961998389
53: 1010310710912713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347535961998389
54: 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347535961998389
55: 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972574347535961998389
56: 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347535961998389
57: 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
58: 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
59: 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535961998389
60: 101031071091271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61: 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343475359619989
62: 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
63: 1010307107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
64: 10103071071091271311371391491515716316721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
65: 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
66: 10103071071091271311371491515716313921167223317322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
67: 10103071071091271311371491515716313921167223317322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
68: 1010307107109127131137149151571631392116722331732277229323924179251819193257263269281972833743475359619989
69: 1010307107109127131137149151571631392116722331732277229323924179251819193257263269281972833743475359619989
70: 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919325726326928197283374347534959619989
71: 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919325726337269281972834743534959619989
72: 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919337257263472692819728349435359619989
73: 10103071071091271311371491515716313921167223317322772293372392417925181919347257263492692819728353594367619989
74: 101030710710912713113714915157163139211672233173227722932392417925181919337347257263492692819728353594367619989
75: 1010307107109127131137313914915157163211672233173227722933792392417925181919347257263492692819728353594367619989
76: 101030710710912713113731391491515716321167223317322772293379239241792518191934725726349269281972835359438367619989
77: 101030710710912713113731391491515716321167223317337922772293472392417925181919349257263535926928197283674383896199
78: 1010307107109127131137313914915157163211672233173379227722934723972417925181919349257263535926928197283674383896199
79: 101030710710912713113731391491515721163223317337922772293472397241672517925726349269281819193535928367401974383896199
80: 101030710710912713113731391491515721163223317337922772293472397241672517925726349269281819193535928367401974094383896199
81: 101030710710912713113731391491515721163223317337922772293472397241916725179257263492692818193535928367401974094383896199
82: 1010307107109127131137313914915157223317322772293379239724191634725167257263492692817928353594018193674094211974383896199
83: 1010307107109127131137313914922331515722772293379239724191634725167257263492692817353592836740181938389409421197431796199
84: 101030710710912713113731391492233151572277229323972419163472516725726349269281735359283674018193838940942119743179433796199
85: 101030710710912713113731391492233151572277229323924191634725167257263492692817353592836740181938389409421197431794337943976199
86: 1010307107109127131137313914922331515722772293239241916347251672572634926928173535928367401819383894094211974317943379443976199
87: 1010307107109127131137313914922331515722772293239241916347251672572634926928173535928367401819383894094211974317943379443974496199
88: 1010307107109127131137313914922331515722772293239241916347251672572634926928173535928367401819383894094211974317943379443974494576199
89: 10103071071091271311373139149223315157227722932392419163472516725726349269281735359283674018193838940942119743179433794439744945746199
90: 10103071071091271311373139149223315157227722932392419163251672572634726928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389
91: 10103071071091271311373139149223315157227722932392419163251672572634726928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467
92: 101030710710912713113731391492233151572277229323924191632516725726347926928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467
93: 101030710710912713113731391492233151572277229323924191632516725726347926928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467487
94: 101030710710912713113731392233149151572277229323924191632516725726347926928173492835359401819367409421197431794337944397449457461994638389467487
95: 1010307107109127131137313922331491515722772293239241916325167257263479269281734928353594018193674094211974317943379443974499457461994638389467487
96: 1010307107109127131137313922331491515722772293239241916325167257263269281734792834940181935359409421197431794337944397449945746199463674674875038389
97: 1010307107109127131137313922331491515722772293239241916325167257263269281734792834940181935359409421197431794337944397449945746199463674674875038389509
98: 101030710710912713113732233139227722932392419149151572516325726326928167283479401734940942118193535943179433794439744994574619746367467487503838950952199
99: 1010307107109127131137322331392277229324191491515725163257263269281672834794017349409421181935359431794337944394499457461974636746748750383895095219952397
100: 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728347940173494094211394317943379443944994574618191935359463674674875038389509521975239754199
101: 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728347401734940942113943179433794439449945746181919353594636746748750383895095219752397541995479
102: 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728347401734940942113943179433794439449945746181919353594636746748750383895095219752397541995479557
103: 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728340173474094211394317943379443944945746181919349946353594674875036750952197523975419954795575638389
104: 101030710710922331127131373227722932414915157251632572632692816728340173474094211394317943379443944945746181919349946353594674875036750952197523975419954795575638389569
105: 101030710722331109227127722932413137325149151571632572632692816728340173474094211394317943379443944945746181919349946353594674875036750952197523975419954795575638389569
106: 1010307107223311092271277229324131373251491515716325726326928167283401734740942113943179433794439449457461819193499463535946748750367509521975239754199547955775638389569
107: 1010307107223311092271277229324131373251491515716325726326928167283401734740942113943179433794439449457461819193499463535946748750367509521975239754199547955775638389569587
108: 10103071072233110922712772293241313732514915157163257263269281672834017340942113943179433794439449457461819193474634994674875035359367509521975239754199547955775638389569587
109: 10103071072233110922712772293241313732514915157163257263269281672834017340942113943179433794439449457461819193474634994674875035359367509521975239754199547955775638389569587599
110: 1010307223311072271092293241277251313732571491515726326928163283401674094211394317343379443944945746179463474674875034995095218191935359367523975419754795577563838956958759960199
111: 1010307223311072271092293241277251313732571491515726326928163283401674094211394317343379443944945746179463474674875034995095218191935359367523975419754795577563838956958759960199607
112: 1010307223311072271092293241277251491515716325726326928167283401734094211313734317943379443944945746139463474674875034995095218191935359367523975419754795577563838956958759960199607
113: 22331101030722710722932410925127725714915157263269281632834016740942113137343173433794439449457461394634746748750349950952181919353593675239754197547955775638389569587599601996076179
114: 2233110103072271072293241092512571277263269281491515728340163409421131373431734337944394494574613946347467487503499509521675239754191819353593675479557756383895695875996019760761796199
115: 22331010307227107229324109251257126311277269281491515728340163409421131373431734337944394494574613946347467487503499509521675239754191819353593675479557756383895695875996019760761796199
116: 22331010307227107229324109251257126311269281277283401491515740942113137343173433794439449457461394634674875034750952163499523975416754795577563535936756958759960181919383896076179619764199
117: 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346748750347509521634995239541675479557756353593675695875996018191938389607617961976419964397
118: 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346748750347509521634995239541675475577563535936756958759960181919383896076179619764199643976479
119: 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346748750347509521634995239541675475577563535695875935996018191936760761796197641996439764796538389
120: 2233101030722710722932410925125712631126928127728340149151574094211313734317344337944945746139463467487503475095216349952395416754755775635356958760181919359367607617961976419964397647965383896599
121: 22331010307227107229324109251257126311269281277283401491515740942113137343173443379449457461394634674875034750952163499523954167547557756353569587601819193593676076179641976439764796538389659966199
122: 223310103072271072293241092512571263112692812772834014915157409421131373431734433794494574613946346734748750349950952163523954167547557756353569587601819193593676076179641976439764796538389659966199
123: 2233101030722710722932410925125712631126928127728340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936776076179641976439764796538389659966199
124: 2233101030722710722932410925125712631126928127728340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
125: 22331010307227107229324109251257126311269127728128340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
126: 2233101030701072271092293241251257126311269127728128340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
127: 223310103070107092271092293241251257126311269127728128340149151574094211313734317344337944945746139463467347487503499509521635239541675475577563535695876018191935936076179641976439764796536776599661996838389
128: 223310103070107092271092293241251257191263112691277281283401491515740942113137343173443379449457461394634673474875034995095216352395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
129: 22331010307010709227109229324125125719126311269127277281283401491515740942113137343173443379449457461394634673474875034995095216352395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
130: 223307010103227092293241072510925712631126912719128128340140942113137331491515727743173443379449457461394634673474875034995095216352395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
131: 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314915157277431734433794494574613946346739487503475095216349952395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
132: 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314915157277431734433794494574613946346739487503475095216349952395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
133: 223307010103227092293241072510925712631126912719128128340140942113137331443173449149457277433794613946346739487503475095215157516349952395416754755775635356958760181935936076179641976439764796536776599661996838389
134: 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727743379461394634673948750347509521515751634995239541675475575635356958757760181935936076179641976439764796536776599661996838389
135: 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727743379461394634673948750347509521515751634995239541675475575635356958757760181935936076179641976439764796536776599661996838389
136: 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314431734491494572774337946139463467394875034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479653677696599661996838389
137: 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479653677696599661996838389
138: 2233070101032270922932410725109257126311269127191281283401409421131373314431734491494572773461394634673948743379503475095215157516349952395416754755756353569587577601819359360761796419764397647965367787696599661996838389
139: 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479765367787696599661996838389
140: 22330701010322709229324107251092571263112691271912812834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479765367787696599661996838389809
141: 223307010103227092293241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914945727734613946346739487433795034750952151575163499523954167547557563535695875776018193593607617964197643976479765367787696599661996838389809
142: 223307010103227092293241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572773461394634673948743379503475095214952395415157516349954755756353569587577601676076179641935936439764797653677659966197876968383898098218199
143: 223070101032270922932410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727734613946346739487433475034950952149952337954151575163535475575635695875776016760761796419359364396479765367765996619768383898098218199823978769
144: 223070101032270922932410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151575163535475575635695875773960167607617964193593643964797653677659966197683838980982181998239769827787
145: 223070101032270922924107251092571263112691271912811283401409421131373314431734491457274334613946346734748750349509521499523379541515751635354755756356958757739601676076179641935936439647976536599661976836776980982181998239782778782938389
146: 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587577396016760761796419359364396479765367765996619768383976980982181998239827787829389
147: 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587577396016760761796419359364396479765365996619768367769809821819982397827787829383985389
148: 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587576016760761796419359364396479765365996619768367739769809821819982398277829383985389857787
149: 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587576016760761796419359364396479765365966197683677397698098218199823982778293839853898577878599
150: 2230701010322709229241072510925712631126912719128112834014094211313733144317344914572743346139463467347487503495095214995233795415157516353547557563569587576016760761796419359364396479765365966197683677397698098218199823982778293839853857787859986389
151: 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151575163535475575635695875760167607617964193593643964797653659661976836773976980982181998239827782938398538577877859986389
152: 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383985385778778599863898818199
153: 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857787785998638988181998839
154: 22307010103227092292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857785998638988181998839887787
155: 2230701010322709072292410725109257126311269127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857785998638988181998839887787
156: 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140942113137331443173449145727433461394634673474875034950952149952337954151547515755756353569587576016359360761796419364396479765365966197683676980982167739782398277829383853857785998638988181998839887787
157: 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140942113137331443173449193457274334613946346734748750349509521499523379541515475155756353569587576015760761796419764396479765359365966199683676980982163823978277398293838538577859986389881816778778839887
158: 2230701010322709072292410725109257126311269112719128112834014092934211313733144317344919345727433461394634673474875034950952149952337954151547515575635356958757601576076179641976439647976535936596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
159: 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140929342113137274314433173344919345746139463467347487503495095214995233735354151547515575635695875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
160: 2230701010322709072292410725109257126311269112719128112834014092934211313727431443317334491934574613941463467347487503495095214995233735354151547515575635695875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
161: 223070101032270907229241072510925712631126911271912811283401409293421131372743144331733449193457461394146346734748750349475095214995233735354151547515575635695875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
162: 22307010103227090722924107251092571263112691127191281128340140929342113137274314433173344919345746139414634673474875034947509521499523373535415154751557563569535875760157607617964197643964796535937976596619968367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
163: 2230701010322709072292410725109257126311269112719128112834014092934211313727431443317334491934574613941463467347487503494750952149952337353541515475155756356953587576015760761796419764396479653593797659661996768367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
164: 22307010103227090722924107251092571263112691127128112834014092934211313727431443317334491457461394146346734748750349475095214995233735354151547515575635695358757601576076179641919359379643964797197653659661996768367698098216382397827739829853838577859986389881816778778839887
165: 223070101032270907229241072510925712631126911271281128340140929342113137274314433173344914574613941463467347487503494750952149952337353541515475155756356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829853838577859986389881816778778839887
166: 22307010103227090722924107251092571263112691127128112834014092934211313727431443317334491457461394146346734748750349475095214995233735354151547515575635695358757601576076179641919359379643964797197653659661996768367698098216382397739827782983838538577859986389881816778778839887
167: 223070101032270907229241072510925712631126911271281128340140929342113137274314433173344914574613941463467347487503494750952149915152337353541547515575635695358757601576076179641919359379643964797197653659661996768367698098216382397739827782983838538577859986389881816778778839887
168: 2230701010322709072292410725109257126311269112712811283401409293421131372743144331733449145746139414634673474875034947509521499151523373535415475155756356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
169: 2230701009070922710103229241072510925712631126911272728112834014092934211313733144317344914574334613941463467347487503494750952149915152337515415475575635356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
170: 22307010090709227101310322924107251092571263112691127272811283401409293421134431373317344914574334613941463467347487503494750952149915152337515415475575635356953587576015760761796419193593796439647971976536596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
171: 22307010090709227101310191032292410725109257126311269112727281128340140929342113443137331734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
172: 22307010090709227101310191021032292410725109257126311269112727281128340140929342113443137331734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
173: 223070100907092271013101910210310722924109251257126311269112727281128340140929342113443137331734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
174: 223070100907092271013101910210310331107229241092512571263132691127272811283401409293421137334431734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
175: 223070100907092271013101910210310331103922924107251092571263132691127272811283401409293421137334431734491457433461394146346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
176: 223070100907092271013101910210310331103922924104910725109257126313269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
177: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510725109257126313269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
178: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610725109257126313269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
179: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325107257109263269112727281128340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
180: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106911072571092632692811272728340140929342113733443173449414574334613946346734748750349475095214991935233751515415475575635356953587576015760761796419643964796535937971976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
181: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106911072571087263269281092834012727409293421137334431734494145743346139463467347487503494750952149919352337515154154755756353569535875760157607617964196439647965359379719765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
182: 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109112727283401409293421137334431734494145743346139463467347487503494750952149919352337515154154755756353569535875760157607617964196439647965359379719765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
183: 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834012727409293421137334431734494145743346139463467347487503494750952149919352337515154154755756353569535875760157607617964196439647965359379719765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
184: 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834010971929340941272742113733443173449457433461394634673474875034947509521499193523375151541547557563535695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
185: 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834010971929340941272742113733443173449457433461394634673474875034947509521499193523375151541547557563535695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
186: 2230701009070922710131019102103103311039229241049105106106313251069107257108726326928109110932834010971929340941272742113733443173449457433461394634673474875034947509521499193523375151541547557563535695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821638239773982778298383853857785997863898811816778778839887
187: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106910725710872632692810911093283401097192934094127274211173344317433449457461373463467347487503494750952149919352337515154157547557563535695358757601635937960761796419764396479765365966199676836769809821811397739823982778298383853857785997863898816778778839887
188: 223070100907092271013101910210310331103922924104910510610631325106910725710872632692810911093283401097192934094111727421123344317334494574337346137463467347487503494750952127514991935235354151575475575635695358757601635937960761796419764396479765365966199676836769809821811397739823982778298383853857785997863898816778778839887
189: 1009070101307092232271019102103103310491051061063110392292410691072510872571091109326326928109719283401117274092934211233443131733449411294574337346137463467347487503494750952127514991935235354151575475575635695358757601635937960761796419764396479765365966199676836769809821811397739823982778298383853857785997863898816778778839887
190: 10090701013070922322710191021031033104910510610631103922924106910725108725710911093263269281097192834011172740929342112334431317334494112945743373461374634673474875034947509521139523535412751499193547557563569535875760157607617964197643964796535937976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881151816778778839887
191: 100907010130709101910210310331049105106106311039223227106910722924108725109110932571097192632692811172728340112334092934211294113137334431734494574337461394634673474875034947509521151153523535412751499193547557563569535875760157607617964197643964796535937976596619967683676980982163823977398277829838385385778599786389881816778778839887
192: 1009070101307091019102103103310491051061063110392232271069107229241087251091109325710971926326928111727283401123340929342112941131373344317344945743374613946346734748750349475095211511535235354116354751275575635695358757601499193593796076179641976439647976536596619967683676980982157739778239827782983838538578599786389881816778778839887
193: 1009070101307092232271019102103103310491051061063110392292410691072510872571091109326326928109711171928340112334092934211294113137274317334433734494574613946346734748750349475095211511535235354127514991935475575635695358757601576076179641976439647965359379765966199676836769809821811638239773982778298383853857785997863898816778778839887
194: 10090701013070922322710191021031033104910510610631103922924106910725108725710911093263269281097111719283401123340929342112941131372743173344337344945746139463467347487503494750952115115352353541163547512755756356953587576014991935937960761796419764396479765365966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898811816778778839887
195: 100907010130709101910210310331049105106106311039223227106910722924108725109110932571097111719263269281123283401129293409411313727421151153443173344945743346139463467347487503494750952116352337353541181187512754755756356953587576014991935937960761796419764396479765365966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
196: 100907010130709101910210310331049105106106310691072231103922710872292410911093251097111711232571926326928112928340113137274092934211511534431733449411634574334613946346734748750349475095211811875119352337353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
197: 100907010130709101910210310331049105106106310691072231103922710872292410911093251097111711232571926326928112928340113137274092934211511534431733449411634574334613946346734748750349475095211811875119352337353541201275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
198: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710872231103922710911093229241097111711232511292571926326928113132834011511534092934211634431733449411811872743345746137346346734748750349475095211935233751201213953535412754755756356958757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
199: 10090701013070910191021031033104910510610631069107108710911039223110932271097111711232292411292511313257192632692811511532834011634092934211811872743173344334494119345746137346346734748750349475095212012139523375121754127547557563535695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
200: 100907010130709101910210310331049105106106310691071087109109311039110971117112322711292292411313251151153257192632692811632834011811872740929342119344317334494120121373457433461394634673474875034947509521217512233752353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
201: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710871091093110391109711171123112922711313241151153251163257192632692811811872728340120121373340929342119344317344941217433457461394634673474875034947509521223375122952353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
202: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710871091093110391109711171123112922711313241151153251163257192632692811811872728340120121373340929342119344317344941217433457461394634673474875034947509521223375122952353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
203: 10090701013070910191021031033104910510610631069107108710910931103911097111711231129113132271151153241163251181187257192632692812012137272834012173340929342119344317433449412233734574613946346734748750349475095212295235354123751275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
204: 100907010130709101910210310331049105106106310691071087109109311039110971117112311291131151153132271163241181187251201213725719263269281217272834012233409293421193443173344941229457433734613946346734748750349475095212375124952353541275475575635695358757601499196076179641976439647965359379765966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
205: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710871091093110391109711171123112911311511531163132271181187241201213725121725719263269281223283401229293409412372742119344317334494574334613946346734748750349475095212495233735354125937953547512755756356958757601499196076179641976439647976535965966199676836769809821577397782398277829838385385785997863898816778778839887
206: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710871091093110391109711171123112911311511531163132271181187241201213725121725719263269281223283401229293409412372742119344317334494574334613946346734748750349475095212495233735354125937953547512773955756356958757601499196076179641976439647976535965966199676836769809821577823977827829838385385785997863898816778778839887
207: 10090701013070910191021031033104910510610631069107108710910931103911097111711231129113115115311631181187227120121313724121725122325719263269281229283401237274092934211934431733449412494574334613946346734748750349475095212593735233795353541277395475127955756356958757601499196076179641976439647976535965966199676836769809821577823977827829838385385785997863898816778778839887
208: 100907010130709101910210310331049105106106310691071087109109311039110971117112311291131151153116311811871201213137227121724122325122925719263269281237274012492934094125934211937334431734494574334613946346734748750349475095212773952337953535412795475128355756356958757601499196076179641976439647976535965966199676836769809821577823977827829838385385785997863898816778778839887
209: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710871091093110391109711171123112911311511531163118118712012131217227122313724122925123725719263269281249293401259340941277274211937334431734494574334613946346734748750349475095212795233795353541283547512895575635695875760149919607617964197643964797653596596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
210: 1009070101307091019102103103310491051061063106910710871091093110391109711171123112911311511531163118118712012131217227122313724122925123725719263269281249293401259340941277274211937334431734494574334613946346734748750349475095212795233795353541283547512895575635695875760149919607617964197643964797653596596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
211: 10090701013070910191021031033104910510610631069107108710910931103911097111711231129113115115311631181187120121312171223137227122924123725124925719263269281259293401277274094127942119344317334494574334613946346734748750349475095212835233735354128953547512975575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
212: 100907010130101910210310330709104910510610631069107108710910931103911097111711231129113115115311631181187120121312171223227122924123725124925719263269281259293401277274094127942119344313733173449457433461394634673474875034947509521283523375128953535412975475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
213: 10090701013010191021031033070910491051061063106910710871091093110391109711171123112911303115115311631181187120121312171223227122924123725124925719263269281259293401277274094127942119344313733173449457433461394634673474875034947509521283523375128953535412975475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
214: 1009070101301019102103103310491051061063106910709108710910931103911097111711231129113031151153116311811871201213071217122312292271237241249251259257192632692812772740127929340941283421193443131733449457433461373463467347487503494750952128952337512975413953535475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
215: 100907010130101910210310331049105106106310691070910871091093110391109711171123112911303115115311631181187120121307121712231229227123724124925125925719263131926928127727401279293409412834211934431733449457433461373463467347487503494750952128952337512975413953535475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
216: 100907010130101910210310331049105106106310691070910871091093110391109711171123112911303115115311631181187120121307121712231229227123724124925125925719263131926928127727401279293409412834211934431733449457433461321289463467347487503494750952129751373523375413953535475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
217: 1009070101301019102103103310491051061063106910709108710910931103911097111711231129113031151153116311811871201213071217122312291237227124924125925127725719263131926928127929340128340941289421193443173344945727433461321297463467347487503494750952132751373523375413953535475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
218: 1009070101301019102103103310491051061063106910709108710910931103911097111711231129113031151153116311811871201213071217122312291237227124924125925127725719263131926928127929340128340941289421193443173344945727433461297463467347487503494750952132132751361373523375413953535475575635695875760149919607617964197643964796535937976596619967683676980982157739778239827829838385385785997863898816778778839887
219: 100907010130101910210310331049105106106310691070910871091093110391109711171123112911303115115311631181187120121307121712231229123712492271259241277251279257192631319269281283401289293409412972742119344317334494574334613213274634673474875034947509521361367513735233754139535354755756356958757601499196076179641976439647965359379765966199676838098215769823977398278298383853857785997863898816778778839887
220: 100907010130101910210310331049105106106310691070910871091093110391109711171123112911303115115311631181187120121307121712231229123712492271259241277251279257192631319269281283401289293409412972742119344317334494574334613213274634673474875034947509521361367513735233754139535354755756356958757601499196076179641976439647965359379765966199676838098215769823977398278298383853857785997863898816778778839887
221: 100907010130101910210310331049105106106310691070910871091093110391109711171123112911303115115311631181187120121307121712231229123712492271259241277251279257192631319269281283401289293409412972742119344317334494574334613213274634673474875034947509521361367513735233754138139535354755756356958757601499196076179641976439647965359379765966199676838098215769823977398278298383853857785997863898816778778839887
222: 1009070101301019102103103310491051061063106910709108710910931103911097111711231129113031151153116311811871201213071217122312291237124922712592412772512792571926313192692812834012892934094129727421193443173344945743346132132746346734748750349475095213613675137352337541381399195353547557563569587576014996076179641976439647965359379765966199676838098215769823977398278298383853857785997863898816778778839887
anselm
la source
Le problème de superséquence commun le plus court est connu pour être NP-complet , donc un algorithme de temps polynomial sans retour arrière ne peut probablement pas fonctionner dans tous les cas, à moins que son exactitude dépende d'une propriété particulière de la distribution des nombres premiers (ou P = NP).
Anders Kaseorg
n>>0n=128
1
Compte tenu de ces mises en garde comme «la plupart du temps» et «trouvées jusqu'à présent», pouvez-vous expliquer pourquoi nous devrions avoir confiance que votre sortie est correcte? Comment pouvez-vous être sûr qu'une de vos simplifications locales ne vous empêchera pas de trouver l'optimum global?
Anders Kaseorg
4
Par exemple: si vous remplacez les trois premiers nombres premiers avec 1234, 3423, 2345, vous générez au 123453423lieu de la valeur optimale 12342345.
Anders Kaseorg
1
Voici également un cas de problème à 3 chiffres: 457, 571, 757(tous les nombres premiers). findSeqreviendrait 7574571pour cela, mais la longueur la plus courte est 457571. Votre approche consiste donc à jouer avec le feu. Voté pour sa pure audace, cependant.
japh