Nous aimerions factoriser un semi-premier . Le but de ce défi est de trouver deux petits entiers et tels que peut être trivialement factorise avec la méthode de Fermat, permettant ainsi de déduire facilement les facteurs de . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

La tâche

Étant donné un semi-premier et un entier positif , nous définissons et comme: $N$ $k$ $x$ $y$

X = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = X^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Étape # 1 - Trouvez $k$

Vous devez d'abord trouver la plus petite valeur possible de telle que soit un nombre carré ( aka carré parfait). $k$ $y$

Cela permet de factoriser avec une seule itération de la méthode de factorisation de Fermat . Plus concrètement, cela conduit immédiatement à: $kN$

k N = (X + \sqrt{y}) \times (X - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Mise à jour: cette séquence est maintenant publiée sous A316780 )

Étape # 2 - Factoriser $k$

Il faut ensuite trouver les deux entiers positifs et tels que: $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = X + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

ré v = X - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

où et sont les facteurs premiers de . $c$ $d$ $N$

Sommaire

Votre tâche consiste à écrire un programme ou une fonction qui prend comme entrée et imprime ou affiche et dans n'importe quel ordre et dans n'importe quel format raisonnable. $N$ $u$ $v$

Exemple

Considérons $N = 199163$

Étape 1

La plus petite valeur possible de est , ce qui donne: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Étape 2

La factorisation correcte de est , car: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

Donc, la bonne réponse serait soit $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Règles

$u$ $v$
$uvN$
L'entrée est garantie comme un semi-premier.
Il s'agit de code-golf, donc la réponse la plus courte en octets l'emporte.
Les failles standard sont interdites.

Cas de test

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Exemple d'implémentation

Dans l'extrait ci-dessous, la fonction est une implémentation non gérée qui prend $f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Afficher l'extrait de code

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Développer l'extrait

code-golf number-theory primes Arnauld
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Sommes-nous garantis que l'entrée Nsera en fait un semi-premier?

Greg Martin

@GregMartin Oui, vous l'êtes.

Arnauld du

8

Mathematica, 81 79 octets

Merci à Martin Ender pour avoir économisé 2 octets!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Fonction pure prenant un semi-premier en entrée et renvoyant une paire ordonnée d'entiers positifs. La Forboucle implémente la procédure exacte décrite dans la question (en utilisant #pour l'entrée à la place de n), avec xcomme défini ici, bien que nous stockions à la j = k*nplace de klui-même et z=Sqrt[y]au lieu de ylui - même. Nous calculons également p={x+z,x-z}à l'intérieur de la Forboucle, ce qui finit par économiser un octet (comme pour le septième essai). Ensuite, les deux facteurs souhaités sont (x+z)/GCD[#,x+z]et (x-z)/GCD[#,x-z], que l'expression concise p/#~GCD~pcalcule directement comme une paire ordonnée.

Curiosités: nous voulons boucler jusqu'à ce que zsoit un entier; mais comme nous allons utiliser Ceilingdéjà dans le code, il économise deux octets de plus !IntegerQ@zà définir c=Ceiling(ce qui coûte quatre octets, comme le savent les golfeurs de Mathematica), puis teste si c@z>z. Nous devons initialiser zà quelque chose, et que quelque chose vaut mieux ne pas être un entier pour que la boucle puisse démarrer; heureusement, Ec'est un choix concis.

Greg Martin
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4

JavaScript (ES7), 86 81 octets

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Edit: 4 octets enregistrés grâce à @Arnauld.

Neil
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4

Python 2, 127 121 117 117 111 107 104 101 99 octets

-1 octet grâce à Neil & -3 octets grâce à ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Essayez-le en ligne!

Curiosités:

pest initialisé à .5pour que la condition de boucle soit vraie à la première itération. Notez qu'il est plus court de stocker p(en tant que x+ sqrt(y)) que de stocker chacun xet yséparément.

accro aux mathématiques
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x*xau lieu de x**2?

Neil

@Neil Oui, bien sûr. Merci

math junkie

1

Axiome, 131 115 octets

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

La fonction qui résoudrait la question est r (n) ci-dessus. ungolf et test

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

RosLuP
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Aide à la factorisation de Fermat