En ignorant l'expansion de l'univers, l'entropie, les orbites en décomposition et les interférences de tout corps entrant en collision ou interférant avec leurs orbites , les huit planètes connues de notre système solaire s'aligneront-elles jamais?

Quelle est la "période" des planètes; à quelle fréquence s'alignaient-ils parfaitement? Et sur la base de leurs positions actuelles, à quelle distance dans le futur est leur prochain alignement théorique?

Il s'agit d'une réponse de faible précision - mais simple -

Il vous permet de calculer uniquement la configuration d'alignement radial des planètes.

Si vous souhaitez une approximation, disons, vous approximez la position des planètes comme des aiguilles dans une horloge, vous pouvez calculer les mathématiques par quelque chose comme ça.

Supposons que est l'angle initial pour la planète i au temps t 0 - mesuré à partir d'une position arbitraire mais fixe, et l i est la longueur de l'année - en jours - pour la planète i .$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Il revient ensuite à résoudre ce système d'équations:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

À partir de là, vous appliqueriez simplement le théorème du reste chinois .

Trouver le minimum x vous donnera l'angle que la planète qui à avait l'angle θ i = 0 aurait parcouru jusqu'à ce qu'une configuration d' alignement soit atteinte. En supposant que vous choisissez la Terre comme planète mentionnée, puis divisez cet angle par une révolution complète ( 360 o ) et vous obtiendrez le nombre d'années pour que cette configuration soit atteinte - à partir de la configuration t 0 .$t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

Les différents en degrés pour toutes les planètes au 01 janvier 2014 - vous pouvez l'utiliser comme votre t 0 :$\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

La source

Les différents en jours pour toutes les planètes:$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

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Je viens de trouver ce site avec lequel vous aimeriez jouer. C'est une application flash interactive avec la position précise des planètes.

Je sais aussi que toutes les informations peuvent être obtenues à partir de cette page de la NASA et c'est aussi précis que vous pouvez obtenir, mais c'est tout simplement incompréhensible pour moi maintenant. J'essaierai de le réviser plus tard quand je trouverai le temps.

De plus, ce livre de Jean Meeus intitulé Astronomical Algorithms couvre toutes les euqations et formules fondamentales - il n'a cependant rien à voir avec les algorithmes de programmation.

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$\tt{telnet}$

La bonne réponse est « jamais », pour plusieurs raisons. Tout d'abord , comme l'a souligné Florin dans son commentaire, les orbites de la planète ne sont pas coplanaires et ne peuvent donc pas s'aligner, même si chaque planète pourrait être placée arbitrairement dans son plan orbital. Deuxièmement , même un alignement radial pur ne se produit jamais parce que les périodes de la planète sont incommensurables - leurs ratios ne sont pas des nombres rationnels. Enfin , les orbites des planètes évoluent sur des échelles de temps de millions d'années, principalement en raison de leur attraction gravitationnelle mutuelle. Cette évolution est (faiblement) chaotique et donc imprévisible pendant très longtemps.

La mauvaise réponse d'Harogaston se rapproche essentiellement des périodes orbitales par les nombres commensurables les plus proches, ce qui donne un temps très long (bien qu'il se soit trompé d'un facteur de ).$10^{16}$

Une question beaucoup plus intéressante (et peut-être celle qui vous intéressait réellement) est la fréquence à laquelle les 8 planètes s'alignent presque radialement . Ici, « presque » pourrait simplement signifier « à moins de vu du Soleil$10^\circ$ ». À une telle occasion, l'attraction gravitationnelle mutuelle des planètes s'alignera et entraînera donc des changements orbitaux plus forts que la moyenne.

Il existe un moyen beaucoup plus simple de procéder.

1) Recherchez la longueur de l'année solaire en jours terrestres

2) multipliez la longueur des années comme ceci: année Mercure * année Vénus * année Terre * année Martienne * année Jovienne * année Saturne * année Uranus * année Neptune

3) Divisez par 365 pour obtenir des années terrestres.

Et vous avez un temps où ils s'aligneront à nouveau longitudinalement (ce qui signifie que les angles seront différents mais d'une vue de dessus, ils formeraient une ligne). Elle ne s'alignera pas à une fréquence plus élevée car certaines de ces planètes ont un nombre décimal de jours terrestres dans leur année.

Techniquement, la vraie façon de trouver la période entre l'alignement des 8 planètes est de trouver le LCM des 8 longueurs d'année.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Je comprends qu'il s'agit d'une estimation approximative car elles sont arrondies à l'entier le plus proche, mais cela donne une bonne idée du nombre de jours prendrait.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Voilà combien d'années.

Toute estimation de la période commune de plus de deux planètes (c.-à-d., Après combien de temps s'alignent-elles à nouveau approximativement en longitude héliocentrique?) Dépend très fortement de la quantité d'écart par rapport à l'alignement parfait est acceptable.

Si la période de la planète est , et si l'écart de temps acceptable est (dans les mêmes unités que ), alors la période combinée de toutes les planètes est approximativement donc réduire l'écart acceptable d'un facteur 10 signifie augmenter la période commune d'un facteur$i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$, qui pour 8 planètes est un facteur de 10 000 000. Ainsi, il est inutile de citer une période commune si vous ne spécifiez pas également la quantité d'écart acceptable. Lorsque l'écart acceptable diminue à 0 (pour obtenir un "alignement parfait"), la période commune augmente à l'infini. Cela correspond à plusieurs déclarations de commentateurs selon lesquelles il n'y a pas de période commune car les périodes ne sont pas proportionnées.

Pour les périodes des planètes répertoriées par Harogaston, lorsque les sont mesurés en années juliennes de 365,25 jours chacune, donc la période commune en années est d'environ si est également mesuré en années. Si les périodes sont approximées au jour le plus proche, alors ans et ans. Si les périodes sont approximées au 0,01 jour le plus proche, alors et ans.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

La dérivation de la formule ci-dessus est la suivante:

Approximer les périodes des planètes par des multiples d'une unité de base : où est un nombre entier. Alors la période commune est au plus égale au produit de tous les . Ce produit est toujours mesuré en unités de ; il faut multiplier par pour revenir aux unités d'origine. Ainsi, la période commune est approximativement$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

La dérivation ci-dessus ne prend pas en compte le fait que le peut avoir des facteurs communs, de sorte que l'alignement se produit plus tôt que le suggère . Cependant, le fait que deux aient ou non des facteurs communs dépend fortement de la période de base choisie , il s'agit donc effectivement d'une variable aléatoire et n'affecte pas la dépendance globale de sur .∏ i p i p i b P $p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Si vous exprimez l'écart acceptable en termes d' angle plutôt que de temps , je m'attends à ce que vous obteniez des réponses qui dépendent de la taille de l'écart acceptable aussi fortement que pour la formule ci-dessus.

Voir http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html pour un graphique de en fonction de pour toutes les planètes, y compris Pluton.$P$$b$

ÉDITER:

Voici une estimation avec un écart acceptable en termes d' angle . Nous voulons que toutes les planètes soient dans une plage de longitude de largeur centrée sur la longitude de la première planète; la longitude de la première planète est libre. Nous supposons que toutes les planètes se déplacent dans la même direction sur des orbites circulaires coplanaires autour du Soleil.$δ$

Parce que les périodes des planètes ne sont pas proportionnées, toutes les combinaisons de longitudes des planètes se produisent avec la même probabilité. La probabilité qu'à un moment précis de la longitude de la planète trouve dans le segment de largeur centré sur la longitude de la planète 1 est égale à i > 1 $q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

La probabilité que les planètes 2 à soient toutes dans le même segment de longitude centré sur la planète 1 est alors$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Pour traduire cette probabilité en une période moyenne, nous devons estimer combien de temps toutes les planètes sont alignées (à moins de ) chaque fois qu'elles sont toutes alignées.$δ$

Les deux premières planètes à perdre leur alignement mutuel sont les plus rapides et les plus lentes des planètes. Si leur période synodique est , alors ils seront alignés pendant un intervalle , puis désalignés pendant un certain temps avant de revenir dans l'alignement. Ainsi, chaque alignement de toutes les planètes dure environ un intervalle , et tous ces alignements couvrent ensemble une fraction de tous les temps. Si la période moyenne après laquelle un autre alignement de toutes les planètes se produit est , alors nous devons avoir , donc$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

S'il n'y a que deux planètes, alors quel que soit , ce qui est comme prévu.$P = P_*$$δ$

S'il y a beaucoup de planètes, alors la planète la plus rapide est beaucoup plus rapide que la plus lente, donc est presque égal à la période orbitale de la planète la plus rapide.$P_*$

Ici aussi, l'estimation du temps moyen entre les alignements successifs est très sensible à la limite d'écart choisie (s'il y a plus de deux planètes impliquées), il est donc inutile de citer une telle période combinée si vous ne mentionnez pas également ce que la déviation était autorisée.

Il est également important de se rappeler que (s'il y a plus de deux planètes) ces alignements (presque) de tous ne se produisent pas à intervalles réguliers.

Maintenant, connectons quelques chiffres. Si vous voulez que les 8 planètes soient alignées à moins d'un degré de longitude, le temps moyen entre deux de ces alignements est à peu près égal à orbites de la planète la plus rapide. Pour le système solaire, Mercure est la planète la plus rapide, avec une période d'environ 0,241 ans, donc le temps moyen entre deux alignements des 8 planètes à moins d'un degré de longitude est d'environ ans.$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Si vous êtes déjà satisfait d'un alignement à moins de 10 degrés de longitude, la période moyenne entre deux de ces alignements est à peu près égale à orbites de Mercure, soit environ 500 millions d'années.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Quel est le meilleur alignement auquel nous pouvons nous attendre au cours des 1000 prochaines années? 1000 ans représentent environ 4150 orbites de Mercure, donc , donc . Dans un intervalle de 1000 ans choisi au hasard, il y a en moyenne un alignement des 8 planètes sur un segment de 90 °.$(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$