Pourquoi les orbites sont-elles elliptiques au lieu de circulaires?

Pourquoi les planètes tournent-elles autour d'une étoile dans une orbite elliptique spécifique avec l'étoile à l'un de ses foyers? Pourquoi l'orbite n'est-elle pas un cercle?

Supposons que la planète a une masse négligeable par rapport à l'étoile, que les deux sont sphériquement symétriques (donc la loi de gravitation de Newton tient, mais cela arrive normalement à une très bonne approximation de toute façon), et qu'il n'y a pas de forces en dehors de la gravité entre elles . Si la première condition ne tient pas, alors l'accélération de chacun va se faire vers le barycentre du système, comme si le barycentre les attirait une force gravitationnelle avec une certaine masse réduite, donc le problème est mathématiquement équivalent.

Prenez l'étoile pour être à l'origine. Selon la loi de gravitation de Newton, la force est , où est le vecteur de la planète, est son masse, et est le paramètre gravitationnel standard de l'étoile.rmμ=G$\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$$\mathbf{r}$$m$$\mu = GM$

Lois de conservation

Parce que la force est purement radiale , la quantité de mouvement angulaire est conservée: Si la vitesse initiale n'est pas nulle et que l'étoile est à l'origine , puis en termes de position et de vitesse initiales, l'orbite doit être confinée au plan de tous les points avec des vecteurs de l'origine qui satisifieL = r × p ˙ L = $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$xL⋅x=

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ $\mathbf{x}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$. Si la vitesse initiale est nulle, alors le mouvement est purement radial, et nous pouvons prendre n'importe lequel des plans infiniment nombreux qui contiennent le barycentre et la position initiale.

L'énergie orbitale totale est donnée par où la première partie du terme est l'énergie cinétique et la le deuxième terme est l'énergie potentielle gravitationnelle de la planète. Sa conservation, ainsi que le fait qu'elle invoque l'énergie potentielle correcte, peut être prouvée par le théorème fondamental du calcul pour les intégrales de ligne.

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$

Définissez le vecteur Laplace-Runge-Lenz comme Il est également conservé: ˙

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Enfin, prenons également , qui a les mêmes unités que , et depuis , il se situe le long du plan orbital. Comme c'est un vecteur conservé mis à l'échelle par un scalaire conservé, il est facile de montrer que est également conservé, tant que .r L ⋅ f = 0 f E ≠ $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$$\mathbf{r}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$$\mathbf{f}$$\mathcal{E}\neq 0$

Simplifier

En utilisant le produit triple vectoriel, nous pouvons écrire le carré standard est facile à comprendre démarrer: où été utilisé partout pour basculer entre les termes cinétiques et potentiels.

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ $\mathcal{E}$

Pourquoi Ellipses?

Puisque est de l'énergie par rapport à l'infini, pour avoir une orbite liée, nous avons besoin de . Ainsi, dans la section précédente, et donc qui définit une ellipse avec les foyers et le grand axe .$\mathcal{E}$$\mathcal{E}<0$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ $\mathbf{0},\,\mathbf{f}$$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Pourquoi pas des cercles?

Le cercle est un cas spécial où les foyers sont le même point, , qui peut être reformulé comme En d'autres termes, les orbites circulaires nécessitent que l'énergie orbitale soit le négatif de l'énergie cinétique. C'est possible, mais presque certain de ne pas tenir exactement. Étant donné que toutes les valeurs de sont autorisées pour les orbites liées, il existe de nombreuses autres façons d'avoir des orbites elliptiques. (Bien que certains d'entre eux se briseraient réellement parce que l'étoile et la planète ont une taille positive.)$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ $\mathcal{E}<0$

Notez que les orbites hyperboliques ont , et nous pouvons toujours trouver les foyers en utilisant la méthode ci-dessus, mais en faisant attention aux signes. Pour , le deuxième foyer n'est pas défini car il s'agit d'une orbite parabolique et les paraboles n'ont qu'un seul foyer à une distance finie du centre.E = 0 $\mathcal{E}>0$$\mathcal{E}=0$$\mathbf{f}$

De plus, le vecteur d'excentricité est un choix alternatif pour le vecteur LRL; comme son nom l'indique, son amplitude est l'excentricité orbitale.$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

Il est possible pour une planète d'avoir une orbite circulaire, un cercle, après tout, est une ellipse où les deux foyers sont au même endroit; cela est connu comme ayant une excentricité de 0 . L'excentricité est définie de la manière suivante: où est l'apoapsis (point le plus éloigné de l'orbite depuis l'orbite) centre de masse), et est la périapside (la distance la plus proche). Juste pour construire une certaine intuition ici, si l'apoapsis est le double de la distance du périapsis, l'excentricité sera . rarpe=

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ $r_{a}$$r_{p}$$e=0.333$

De toutes les planètes du système solaire, Vénus , avec une excentricité de 0,007, a l'orbite la plus circulaire.

Quant à savoir pourquoi toutes les orbites ne sont pas rondes, cela revient à l'énergie cinétique . L'énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse. Dans le plan orbital et en coordonnées polaires autour de l'étoile, nous pouvons décomposer ceci en une combinaison de vitesse radiale et de vitesse angulaire : Comme les cercles ont des rayons constants, pour que l'orbite soit circulaire autour de l'étoile, la vitesse radiale de la planète doit être exactement nulle. De plus, la vitesse angulaire doit être telle que la force centrifuge dans le cadre de rotation corresponde exactement à la force gravitationnelle - un peu plus ou un peu moins, le déséquilibre modifiera la vitesse radiale, gâchant le cercle.˙ ϕ v2= ˙ r 2+r2 ˙ ϕ 2$\dot{r}$$\dot{\phi}$

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$

Étant donné que les vitesses varient pour un grand nombre de raisons, il n'est pas étonnant que seules quelques orbites finissent par être circulaires, et étant donné que les orbites réelles changent avec le temps , nous savons qu'elles ne peuvent pas rester ainsi longtemps.

Si vous cherchez une preuve mathématique, ce lien partage quelques détails à ce sujet .

Voici une image montrant l'excentricité de certains corps du système solaire extraits d' ici :

Je préfère toujours les réponses qui essaient d'éviter toute formule et répondent plutôt à l'argumentation. Concernant la partie de la question pourquoi toutes les orbites ne sont pas circulaires, une argumentation serait comme ceci:

Considérons une étoile stationnaire et une planète en mouvement. Pour chaque impulsion que la planète peut avoir, une courbe pour son mouvement ultérieur peut être prévue. Si cette impulsion est dirigée exactement orthogonalement à la ligne de l'étoile à la planète, et si la vitesse a la quantité exacte , alors cette courbe de mouvement peut être un cercle exact.

Mais pour chaque déviance de cette impulsion exacte, la courbe résultante ne peut pas être un cercle:

• Si la vitesse est trop faible, la planète tombera vers l'étoile (dans le cas extrême d'une impulsion de zéro, cette chute se fera en ligne droite).
• Si la vitesse est trop élevée, la planète gagnera de la distance par rapport à l'étoile (semblable à une fronde).
• Si l'impulsion n'est pas directement orthogonale à la ligne vers l'étoile, le premier mouvement déplacera vers ou depuis l'étoile, donc encore une fois la courbe ne sera pas un cercle.

Donc, on peut simplement dire, un cercle est un cas très spécial pour la courbe qu'une planète peut prendre autour d'une étoile.