Pouvez-vous utiliser Pi comme générateur de nombres aléatoires bruts?

J'ai récemment vu cette question à math.SE. Cela m'a fait réfléchir. Pi pourrait-il être utilisé comme générateur de nombres aléatoires bruts? Je veux dire que les résultats sont bien connus (depuis combien de temps pi est-il calculé?), Mais Pi semble être assez aléatoire lorsqu'il est pris 1 chiffre à la fois.

Est-ce que cela a un sens?

Creuser à partir de http://www.befria.nu/elias/pi/binpi.html pour obtenir la valeur binaire de pi (de sorte qu'il était plus facile de convertir en octets plutôt que d'essayer d'utiliser des chiffres décimaux), puis de l'exécuter via ent J'obtiens ce qui suit pour une analyse de la distribution aléatoire des octets:

Entropie = 7,954093 bits par octet.

Une compression optimale réduirait la taille de ce fichier de 4096 octets de 0%.

La distribution du chi carré pour 4096 échantillons est de 253,00, et dépasserait au hasard cette valeur 52,36% du temps.

La valeur arithmétique moyenne des octets de données est de 126,6736 (127,5 = aléatoire).

La valeur de Monte Carlo pour Pi est de 3.120234604 (erreur 0,68%).

Le coefficient de corrélation en série est de 0,028195 (totalement non corrélé = 0,0).

Alors oui, utiliser pi pour des données aléatoires vous donnerait des données assez aléatoires ... sachant qu'il s'agit de données aléatoires bien connues.

D'après un commentaire ci-dessus ...

Selon ce que vous faites, mais je pense que vous pouvez utiliser les décimales de la racine carrée de tout nombre premier comme générateur de nombres aléatoires. Ceux-ci devraient au moins avoir des chiffres uniformément répartis. - Paxinum

J'ai donc calculé la racine carrée de 2 en binaire pour supprimer le même ensemble de problèmes. En utilisant l'itération de Wolfram, j'ai écrit un simple script perl

#!/usr/bin/perl
use strict;
use Math::BigInt;

my $u = Math::BigInt->new("2");
my $v = Math::BigInt->new("0");
my $i = 0;

while(1) {
    my $unew;
    my $vnew;

    if($u->bcmp($v) != 1) { # $u <= $v
        $unew = $u->bmul(4);
        $vnew = $v->bmul(2);
    } else {
        $unew = ($u->bsub($v)->bsub(1))->bmul(4);
        $vnew = ($v->badd(2))->bmul(2);
    }   

    $v = $vnew;
    $u = $unew;

    #print $i,"  ",$v,"\n";
    if($i++ > 10000) { last; }
}

open (BITS,"> bits.txt");
print BITS $v->as_bin();
close(BITS);

L'exécution de cela pour les 10 premiers correspondait à A095804, donc j'étais confiant d'avoir la séquence. La valeur v _n comme lorsqu'elle est écrite en binaire avec le point binaire placé après le premier chiffre donne une approximation de la racine carrée de 2.

L'utilisation de ent contre ces données binaires produit:

Entropy = 7.840501 bits per byte.

Optimum compression would reduce the size
of this 1251 byte file by 1 percent.

Chi square distribution for 1251 samples is 277.84, and randomly
would exceed this value 15.58 percent of the times.

Arithmetic mean value of data bytes is 130.0616 (127.5 = random).
Monte Carlo value for Pi is 3.153846154 (error 0.39 percent).
Serial correlation coefficient is -0.045767 (totally uncorrelated = 0.0).

Eh bien, parmi d'autres propriétés d'un générateur de nombres aléatoires, vous voulez probablement que ce soit un nombre normal . Et plusieurs réponses à la question math.SE qui ont inspiré votre question soulignent qu'actuellement on pense que pi est normal, mais cela n'a pas été prouvé.

Un tel générateur serait un pseudo-générateur de nombres, c'est-à-dire que, étant donné la même graine, le résultat serait toujours le même. Cela étant dit, dans la plupart des frameworks, lorsque vous utilisez le générateur de nombres aléatoires standard, il y a le même problème d'être pseudo-aléatoire.

La distribution des chiffres semble être assez similaire aux générateurs de nombres aléatoires standard¹, de sorte que les chiffres de π peuvent être utilisés pour des scénarios de génération de nombres aléatoires ordinaires.

Le problème est que l'algorithme sera probablement très lent par rapport aux générateurs de nombres aléatoires ordinaires, il n'est donc pas très utile dans la pratique.

^{¹ Je crois que c'est vrai, mais je n'ai aucune preuve. Il serait intéressant (et non compliqué) de faire une comparaison basée sur une grande quantité de nombres.}

Le caractère aléatoire des chiffres de pi (ou d'ailleurs toute autre séquence) peut être testé par des soi-disant «tests de batterie». Un test de batterie populaire est le test de batterie Diehard de George Marsaglia . Il existe également la publication spéciale NIST 800-22 qui décrit un certain nombre de ces tests et les résultats de l'application de ces tests à un certain nombre de constantes physiques, y compris - lo et voici - pi pour plus d'un million de bits. Le résultat de pi est donné à l'annexe B du rapport et ressemble à ceci:

Statistical Test                            P-value
Frequency                                   0.578211
Block Frequency (m = 128)                   0.380615
Cusum-Forward                               0.628308
Cusum-Reverse                               0.663369
Runs                                        0.419268
Long Runs of Ones                           0.024390
Rank                                        0.083553
Spectral DFT                                0.010186
Non-overlapping Templates (m = 9, B = 000000001)          0.165757
Overlapping Templates (m = 9)               0.296897
Universal                                   0.669012
Approximate Entropy (m = 10)                0.361595
Random Excursions (x = +1)                  0.844143
Random Excursions Variant (x = -1)          0.760966
Linear Complexity (M = 500)                 0.255475
Serial (m = 16, 2m∇Ψ )                      0.143005

Pi est-il un bon générateur de séquences aléatoires? Regardez les résultats ci-dessus (ou recherchez les significations de la variable de la colonne de gauche, si vous ne savez pas ce qu'ils signifient), et vérifiez si cela répond à vos besoins.