Preuve mathématique que la tension RMS multipliée par le courant RMS donne une puissance moyenne

Je sais que c'est vrai parce que je l'ai lu dans une source fiable. Je comprends aussi intuitivement que la puissance est proportionnelle au carré de tension ou de courant pour une charge résistive, et que le "S" en RMS est pour "carré". Je cherche une preuve mathématique dure.

Soit le courant à l'instant i , et de même V i la tension à cet instant. Si nous pouvons mesurer la tension et le courant à tous les instants, et qu'il y a n instants, alors la puissance apparente moyenne est:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Qu'est-ce qu'une élégante preuve mathématique

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

obtient le même résultat pour les charges résistives?

Loi d'Ohm

$$1: V(t) = I(t)R$$

La dissipation de puissance instantanée est le produit de la tension et du courant

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Remplacez 1 par 2 pour obtenir une puissance instantanée à travers une résistance en termes de tension ou de courant:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

La preuve très simple (dans le cas d'échantillonnage discret de la question) est par substitution de E / R à I dans l'équation RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

et l' algèbre très simple.

Et oui, cela est vrai car il est spécifié que nous avons une charge purement résistive donc il n'y a pas de problème d'angle de phase et pas d'harmonique présent dans I qui n'est pas également présent dans E.

ÉDITER

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

$$I_i = V_i/R$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

puis:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Extraire le 1 / R ^ 2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

donc:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

distribuer le 1 / R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Utiliser à nouveau la substitution de la loi d'Ohm:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

lequel est:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

La clé est que pour une charge résistive, la tension et le courant sont en phase.

$\sin(t)$$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$$1/2$$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

$1/2$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$

$\cos(t)$$\sin(t)$$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$$1/2$

Donc pour répondre à la question, la tension et le courant RMS sont définis en fonction de la puissance moyenne: chacun est dérivé de la racine carrée de la puissance moyenne. La multiplication de deux valeurs obtenues à partir de la racine carrée de la puissance moyenne récupère la puissance moyenne.

Permet de simplifier davantage ce problème sans calcul. Prenez ce circuit simple qui produit une forme d'onde carrée avec une période de 10 secondes.

La tension est comme ça

et le courant est

Ensuite, la forme d'onde de puissance sera

Lorsque l'interrupteur est ouvert, aucune alimentation n'est fournie à la résistance, l'énergie totale est donc de 10 watts X 5 secondes = 50 Joules, et c'est la même chose que nous appliquons 5 watts en 10 secondes

et c'est la puissance moyenne. La tension moyenne est de 5 volts et le courant moyen est de 0,5 ampère. En faisant un calcul simple, la puissance moyenne donne 2,5 watts ou 25 joules, ce qui n'est pas vrai.

Faisons donc cette astuce AVEC CETTE COMMANDE:

1. Premier carré de la tension (et du courant)

2. Deuxième prendre la moyenne du carré

3. Ensuite, prenez la racine carrée de la moyenne

Le carré de la forme d'onde de tension sera

Et la moyenne est de 50V ^ 2 (pas de 50 ^ 2 volts). À partir de là, oubliez la forme d'onde. Seules les valeurs. La racine carrée de la valeur ci-dessus est de 7 071… volts RMS. Faire de même pour le courant trouvera 0,7071..A RMS Et la puissance moyenne sera de 7,071V x 0,7071A = 5 Watt

Si vous essayez de faire la même chose avec une puissance RMS, le résultat sera une moyenne de 7 071 watts.

Donc, la seule puissance de chauffage équivalente est la puissance moyenne et la seule façon de calculer est d'utiliser les valeurs efficaces de la tension et du courant