Dans quelles conditions la transformation en étoile est-elle inversible?

Nous connaissons et aimons tous les transformations Δ-Y (triangle-étoile) et Y-Δ (étoile-triangle) pour simplifier les réseaux à trois résistances:

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Les transformées Δ-Y et Y-Δ ont la belle propriété qu'un Δ peut toujours être transformé en Y, et un Y peut toujours être transformé en Δ, quelle que soit la valeur des résistances impliquées.

Il existe une version généralisée de la transformée Y-Δ appelée transformée en étoile . Cela convertit une "étoile" de $N$ résistances en un "maillage" de N C 2 résistances.$^{N}C_{2}$

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Wikipedia suggère que la transformation étoile-maille existera toujours - mais que la transformation inverse, maille-étoile, peut ne pas exister. En être témoin:

La transformée remplace N résistances par N C 2$^{N}C_{2}$ résistances . Pour N> 3, le résultat est une augmentation du nombre de résistances, donc la transformée n'a pas d'inverse général sans contraintes supplémentaires.

Quelles sont les contraintes à respecter pour que l'inverse existe?

Je suis particulièrement intéressé par la conversion d'un réseau maillé à 4 nœuds en un réseau en étoile à 4 résistances.

Motivation pour la question: J'ai un modèle de systèmes d'alimentation industriels (vraiment juste un très grand réseau de sources et d'impédances à tension constante) contenant environ 2000 nœuds. J'essaie de le réduire à seulement quatre nœuds d'intérêt.

Éditer:

Il existe des articles publiés sur ce sujet.

• Versfeld, L., «Remarques sur la transformation en maillage stellaire des réseaux électriques», Electronics Letters, vol.6, no.19, pp.597,599, 17 septembre 1970

  Deux nouveaux aspects de la transformation bien connue du maillage en étoile sont étudiés: (a) les conditions nécessaires et suffisantes pour la transformation d'un réseau maillé général donné en un réseau en étoile équivalent; (b) une extension aux réseaux contenant des sources.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Mesh-star transformation", Electronics Letters, vol.10, no.6, pp.73,74, 21 mars 1974

  Un réseau d'étoiles équivalent existe pour un réseau maillé donné si celui-ci satisfait à la relaflonship de Wheatstone. En utilisant ce fait, on montre que tous les cofacteurs offdiagonaux de la matrice d'admittance de nœud de référence d'un tel réseau maillé sont égaux. De cette propriété, une relation simple entre les éléments des deux réseaux est dérivée.

Je n'ai pas d'accès IEEE Xplore donc je ne peux pas les lire.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$. We get the same result from: $\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$. From the last 4 equations we obtain $G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$ and $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$ and so we finally have the $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ condition. So this is a necessary condition. But if the ratio between any two conductances of the mesh is known ,we can express the $G_{TOT}$ depending on only one of those, like $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, where $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, and so on..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.