Stabilité conditionnelle

J'apprends les amplis opérationnels et les commentaires et comment les commentaires affectent leur stabilité. J'ai lu sur le gain et la marge de phase et leurs utilisations lorsque je suis tombé sur ceci :

Je ne comprends pas très bien comment le système montré dans l'image sera stable étant donné qu'à environ 2 kHz, le retour sera positif; J'aurais pensé que cela ferait en sorte qu'une fréquence de 2 kHz deviendrait de plus en plus grande et ne convergerait pas.

Pourquoi ce système sera-t-il stable?

C'est exactement pourquoi je pense que les gens devraient d'abord étudier la stabilité en utilisant des diagrammes de Nyquist, puis en utilisant des diagrammes de Bode et les diagrammes de gain et de marge de phase associés.

Les marges de gain / phase sont juste un moyen pratique de déterminer à quel point le système se rapproche d'avoir des pôles sur le côté droit du plan complexe, en termes de la proximité du tracé de nyquist à -1, car après l'expansion de la fraction partielle, ces termes avec les pôles positifs finissent comme des exponentielles du temps avec un coefficient positif, ce qui signifie qu'il va à l'infini, ce qui signifie qu'il est instable.

Cependant, ils ne fonctionnent que lorsque l'intrigue nyquist est «d'aspect normal». Il se peut très bien qu'il fasse quelque chose comme ceci:

Donc, cela viole la règle de marge de phase, mais la fonction de transfert en boucle ouverte G (s) H (s) ne fait pas le tour de -1, donc 1 + G (s) H (s) n'a pas de zéros sur le côté droit, ce qui signifie que la boucle fermée n'a pas de pôles sur le côté droit, elle est donc toujours stable.

Le mot conditionnel vient du fait que le gain a des limites supérieures / inférieures pour le garder de cette façon, et les croiser rend le système instable (car il déplace suffisamment la courbe pour changer le nombre de fois que -1 est encerclé).

Stabilité conditionnelle dans une réponse en boucle ouverte.

Tout d'abord, puisqu'il s'agit de Ridley, vous pouvez parier qu'il s'agit d'une réponse en boucle ouverte d'un convertisseur de puissance. Cette réponse sera stable pour le gain indiqué pour les petites perturbations de boucle linéaire. Si la perturbation de la boucle devient suffisamment importante pour entraîner les amplificateurs en fonctionnement non linéaire, la boucle deviendra probablement oscillatoire car le fonctionnement de la région non linéaire aura un gain d'amplificateur plus faible.

Le problème avec des boucles comme celle-ci est que même si elles sont stables, il est courant que les systèmes aient un gain qui varie considérablement en fonction de la tension d'entrée, de la charge ou de la température, ou d'une combinaison de tous ces éléments. Si vous utilisez une boucle conditionnellement stable, vous devez vérifier qu'aucune de ces dépendances ne sera un facteur pendant n'importe quel mode de fonctionnement (y compris les conditions de démarrage). Une fois que ces types de boucles commencent à osciller, elles ont tendance à coller (l'oscillation réduira le gain pour qu'il en soit ainsi).

Notez que la boucle comme indiqué est correctement compensée avec 2 zéros pour couvrir les 2 pôles. Le problème est que les pôles proviennent probablement d'un filtre LC (pôles complexes) dans la boucle. Il y aura une inductance à faible perte et une batterie de condensateurs à faible perte qui se combineront pour donner une réponse Q élevée. Puisque ce Q est élevé, toute la contribution de phase de la LC se produira dans une très petite gamme de fréquences; à partir du graphique, il ressemble à environ une octave pour 180 degrés de perte de phase. Les zéros compensatoires Opamp seront simples, et donc l'augmentation de phase se produira sur une période de fréquence de 2 décades (au minimum). Ainsi, même s'il existe une amplification de phase adéquate pour couvrir la perte de phase LC, il y aura un creux de phase et une marge de phase nulle ou négative au milieu près des pôles.

Solutions possibles à ce type de réponse en boucle:

• Les zéros compensatoires peuvent être divisés de sorte que l'on entre avant les pôles (attachez les pôles), en ajoutant un peu de coup de phase au début. Cela pourrait entraîner une plus grande marge de phase au creux de phase, mais pourrait ne pas être suffisant.

• La meilleure action consiste généralement à réduire le Q du filtre LC.

Déconstruction de boucle:

Pour montrer comment ce type de réponse en boucle ouverte pourrait se produire, la boucle peut être déconstruite à l'aide d'un modèle simple.

Je ne connais pas vraiment le circuit qui a provoqué la réponse de l'OP, mais je soupçonne, d'après la façon dont la réponse semble provenir d'un régulateur de suralimentation en mode conducteur continu. Un modèle de base comprendrait un filtre LC, un PowerModulator et un amplificateur d'erreur. Un semi-schéma d'une version en boucle ouverte AC est:

Le circuit reflètera en général le comportement d'une boucle de boost CCM, bien que les détails ici soient choisis pour être raisonnables et obtenir la correspondance la plus pratique avec la boucle publiée ... avec le moins de travail. Ceci est juste un outil pour aider à séparer toutes les parties de la boucle et à montrer comment elles iraient ensemble pour former la boucle totale.

Commençons par le résultat de ce modèle, la boucle complète:

Pas trop mal ... semble assez proche de l'original. Vous pouvez voir que le caractère de base de la boucle est un intégrateur avec une perturbation résonnante LC à 1000Hz. Aux fréquences inférieures aux pôles LC, le gain de boucle diminue à -20 dB par décennie, et aux fréquences supérieures aux pôles LC, le gain reprend une baisse de -20 dB par décennie. Donc, comme il y a globalement un roll-off à 1 pôle (-20 dB /), quelque chose a géré ces 2 pôles LC en les couvrant de zéros. Il existe des artefacts supplémentaires qui apparaissent au-dessus de ~ 20 kHz; Zéro ESR dans le filtre LC, zéro du demi-plan droit (rhpz) et fréquence de Nyquist; qui sera brièvement mentionné.

Réponse du filtre LC:

$C_o$

Modulateur de puissance avec filtre LC:

Le modulateur de puissance a été ajouté au filtre LC ici. Le modulateur de puissance a 30 dB de gain, le demi-plan droit zéro à 70 kHz et un pôle pour la fréquence de Nyquist à 100 kHz (oui je sais que l'ajout d'un pôle n'est pas la bonne façon de gérer Nyquist, mais cela devra faire pour cela ). Sauf pour avoir 30 dB de gain, le tracé de gain ressemble à la LC. Mais qu'en est-il de cette phase? C'est le rhpz qui présente une phase comme un pôle lhp, mais un gain comme un zéro lhp. C'est principalement pourquoi la phase de boucle ouverte ne se rétablit jamais autant que vous ne le pensez après la résonance LC.

Amplificateur d'erreur:

Ici, vous pouvez voir la réponse de l'amplificateur avec son pôle intégrateur basse fréquence, suivi de 2 zéros à environ 1 kHz et 7 kHz, un pôle à 42 kHz pour aplatir le dernier zéro avant de courir dans la limite de bande passante de gain de l'amplificateur.

L'ampli op avait une bande passante de 20 MHz avec un gain de 140 dB et un pôle basse fréquence de 2 Hz. Le gain de l'intégrateur est défini par R1 et C1. Le premier zéro est fixé par C1 et R3. Le deuxième zéro est fixé par C2 et R1. Le poteau de mise à niveau est réglé par C2 et R2.

D'abord un petit éclaircissement. Ce que vous tracez est le gain de boucle L (s), qui correspondrait à G (s) H (s) dans le diagramme suivant:

La fonction de transfert complète (également appelée gain en boucle fermée ) dans ce cas est:

La transformée inverse aura des exponentielles croissantes (ce qui signifie qu'il s'agit d'un système instable) chaque fois que cette fonction a des pôles sur le côté droit (RHS) du plan s. Cela revient à découvrir s'il y a des zéros sur la RHS du plan s de 1 + L (s). Donc, fondamentalement, l'instabilité est déterminée par le gain en boucle, il n'est pas nécessaire de calculer le gain en boucle fermée plus complexe. Donc quand on parle de stabilité, les tracés sont presque toujours du gain de boucle L (s).

Retour à votre question:

Concernant l'affirmation d'un système instable lorsque le gain est supérieur à 0 dB avec une phase inversée (-180), permettez-moi de répondre avec un contre-exemple facile à voir. Considérez le très simple:

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Selon le critère trop hypothétique qui dit:

si le gain de boucle est positif à -180 °, le système sera instable.

Alors si | K | > 1 alors il doit être instable.

Mais ce n'est pas le cas. La sortie est:

Stable.

En revanche si K = -1, alors nous avons un problème (il devient instable).

Ce qui précède n'était qu'un exemple d'une constante, mais en général, le simple fait de savoir que le gain est> 0 dB à -180 n'implique pas que le système est instable . Si votre livre dit cela, c'est faux (mais cela semblera correct pour de nombreux cas typiques).

Si vous commencez à imaginer que le système ci-dessus a un petit retard et que le signal E n'a pas eu le temps de répondre et a la mauvaise valeur, puis voyez comment il se propage de manière itérative à travers la boucle, vous conclurez que le signal se développera sans lié. Et avec cela, vous tomberez dans un piège mental dont il est difficile de sortir, ce qui est, je pense, l'idée fausse sous-jacente qui ne permet pas d'accepter conceptuellement que le système dans votre question peut être stable.

Le tracé de Bode n'est qu'une tranche de Nyquist, et le critère de stabilité de Bode n'est applicable que lorsque le tracé de Nyquist est typique, mais Bode n'est qu'une commodité (il est plus facile de tracer que Nyquist).

Les tracés de Nyquist et sa version simplifiée des tracés de Bode ne sont que des méthodes graphiques pour principalement:

1. Découvrez si le système a des pôles RHS, qui deviennent des exponentielles croissantes.
2. Obtenez des informations sur la distance à laquelle le système est stable / instable et ce qui peut être fait à ce sujet.

Juste pour clarifier, il n'y a pas de submersion qui minimisera les fréquences instables. Une explication simple est de considérer que la réponse totale est la superposition des réponses de toutes les fréquences, donc il n'y a tout simplement aucun moyen de la fixer, de la même manière que vous ne pouvez pas annuler une sinusoïdale d'une certaine fréquence avec un nombre quelconque de sinusoïdales de fréquences différentes.

Mais là encore, penser en termes de fréquences qui rendent le système instable est également incorrect. Cette instabilité n'est pas la même chose que d'avoir une fréquence de résonance infinie, comme dans un système de deuxième ordre non amorti. C'est un système oscillatoire, mais l'instabilité dont nous parlons est de croître sans limites avec n'importe quelle entrée (sauf zéro).

Un moyen simple de le prouver est de réaliser qu'un système instable aura des pôles sur la RHS du plan s et que:

Il n'y a donc aucun moyen d'annuler un pôle dans la fonction de transfert qui le multiplie. La sortie augmentera toujours sans limites.

La réponse oscillatoire n'entre en jeu que si la phase est mauvaise au passage par zéro du gain. Cette boucle est conditionnellement stable car si un facteur réduit le gain (le faisant traverser plus tôt), il pourrait traverser cette zone à 2 kHz où la phase est dangereuse et créer la réponse oscillatoire.

Pour rendre cette boucle inconditionnellement stable, il faudrait soit une augmentation de phase pour déplacer cette section de 2 kHz hors de la zone de danger, soit le gain devrait traverser à une fréquence beaucoup plus basse (dans la zone avant que la phase ne se bloque).