Pourquoi l'augmentation du taux d'échantillonnage facilite-t-elle la mise en œuvre d'un filtre anti-aliasing?

D'une réponse à une question concernant le taux d'échantillonnage et le filtre anti-aliasing, j'ai lu ce qui suit:

Plus vous vous rapprochez de la fréquence d'échantillonnage minimale théorique, plus le filtre analogique devient difficile à réaliser pratiquement.

Si je ne me trompe pas, cela dit que si notre taux d'échantillonnage est proche de notre taux d'échantillonnage minimum théorique requis, la conception du filtre anti-aliasing analogique sera plus difficile.

Je suis sûr que cela a du sens pour beaucoup, mais je ne pouvais pas comprendre ce que l'on entend ici et pourquoi. Cela pourrait-il être expliqué avec un exemple d'une manière plus simple?

Lorsque vous diminuez la fréquence d'échantillonnage, il y a moins de séparation entre les images dans le domaine fréquentiel.

la source

N'oubliez pas que la répétition du spectre se produit à la fréquence d'échantillonnage. Lorsque les images sont plus rapprochées, vous devez obtenir plus d'atténuation dans votre filtre anti-aliasing. Le filtre doit passer de la bande passante à la bande d'arrêt avant que l'image suivante ne se produise.

source de cette présentation

Pour reconstruire un signal dans le domaine numérique à partir du domaine analogique, vous avez besoin d'au moins deux échantillons dans chaque cycle de la fréquence la plus élevée présente dans le signal analogique. Par exemple, sur les CD, ils utilisent 44,1 kHz pour échantillonner une fréquence maximale dans la bande audio de 20 kHz. Ils auraient pu utiliser 40 kHz mais c'est juste à la limite et le filtre anti-alias serait impossible.

Avec un taux d'échantillonnage de 44,1 kHz, le signal audio de fréquence théoriquement la plus élevée qui pourrait être capturé numériquement sans repliement serait de 22 kHz. Alors, que se passerait-il si 24 kHz alimentaient le système d'échantillonnage numérique à 44,1 kHz?

Cela créerait un signal de 20 kHz dans le domaine numérique et pourrait empirer. Et si le signal était à 30 kHz? Cela deviendrait 16 kHz dans le domaine numérique.

En effet, le sous-échantillonnage crée une sortie aliasée: -

Photo d' ici .

Pour éviter cela, vous utilisez un filtre qui fournit une atténuation adéquate entre 20 kHz et 24 kHz. Je dis 24 kHz car un signal 24 kHz est sur le point de devenir un vrai signal audio 20 kHz. Ainsi, pour les personnes ayant une excellente audition jusqu'à 20 kHz (plus moi), le filtre anti-alias doit fournir une atténuation pratiquement nulle à 20 kHz et peut-être jusqu'à 80 dB (ou plus) d'atténuation à 24 kHz.

C'est un filtre d'ordre assez élevé et la plupart des ingénieurs traitant de tels systèmes préféreraient un rapport de plus comme 3: 1 pour le taux d'échantillonnage à la fréquence analogique la plus élevée.

Votre filtre anti-crénelage a trois bandes

1) Bande passante, de DC à Fwanted
2) Bande d'arrêt, de Fsample-Fwanted à l'infini
3) Bande de transition, de Fwanted à Fsample-Fwanted

Le coût d'un filtre (nombre d'étages, composante Q, nombre de multiplicateurs) est à peu près proportionnel à l'inverse de la bande de transition, et augmente avec la profondeur en dB de la bande d'arrêt.

Plus le Fsample est élevé, plus la bande de transition est large et moins le filtre est cher

$f_s$

$f_s/2$

$f_s/2$$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Le filtre doit donc idéalement:

$f < f_s/2$

mais

$f > f_s/2$

C'est impossible à faire! Il doit donc y avoir un compromis.

$f_s/2$$f_s/2$

Les choses deviennent beaucoup plus faciles si nous:

$f_s/2$

ou

$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Supposons que votre bande d'intérêt soit de DC à 100 Hz et que votre signal ait un bruit blanc limité à la bande à 10 kHz. Maintenant, disons que vous décidez d'échantillonner à 2 kHz. Vous pouvez créer un joli filtre à faible nombre de pôles avec une atténuation de 20 dB / décade et atténuer le bruit pour minimiser l'aliasing

Supposons maintenant que vous souhaitiez échantillonner à 210 Hz. Vous devez créer un filtre d'ordre élevé afin d'obtenir une atténuation suffisante. De tels filtres sont plus difficiles et plus coûteux à concevoir et à construire. Si vous parvenez à le faire correctement, vous obtenez un signal avec une distorsion de phase substantielle dans la bande passante.

Pour le filtre analogique, vous devez considérer les performances du filtre dans la plage de la fréquence d'intérêt la plus élevée. Cela signifie souvent que vous devez définir le "fc" pour le filtre analogique un peu plus haut que la fréquence d'intérêt la plus élevée (et / ou utiliser un filtre plus net).

Pour éviter le repliement, vous devez échantillonner à une fréquence qui est au moins le double de la composante la plus élevée qui traversera votre filtre à un certain niveau maximum auquel vous pouvez tolérer la pollution par le signal replié. Cela signifie que le taux d'échantillonnage est au moins deux fois fc, et souvent il doit être un peu plus élevé.

Donc, maintenant, travailler en arrière, un taux d'échantillonnage plus élevé, signifie que vous pouvez avoir un fc plus élevé, et cela signifie que vous pouvez plus facilement avoir une réponse plate jusqu'à une fréquence d'intérêt inférieure à fc.

Mais . comme vous le savez probablement, le bruit augmente avec la bande passante. Ainsi, pour une application à faible bruit, vous devrez peut-être définir la bande passante du filtre de manière conservatrice.