Quel est le taux «Nyquist» pour échantillonner la dérivée d'un signal?

Contexte: j'échantillonne le courant à travers un condensateur. Le signal d'intérêt est la tension aux bornes du condensateur. Je vais intégrer numériquement la mesure de courant pour obtenir la tension.

Question: Étant donné que la tension aux bornes du condensateur est limitée en bande passante et que j'échantillonne la dérivée de cette tension, quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale requise pour reconstruire parfaitement le signal de tension à partir des échantillons actuels?

S'il n'y a pas de réponse en conserve à cette question, tout ce qui pourrait m'orienter dans la bonne direction serait utile. Merci d'avance pour toute aide!!

Prendre une dérivée (ou une intégrale) est une opération linéaire - elle ne crée pas de fréquences qui n'étaient pas dans le signal d'origine (ou n'en supprime aucune), elle modifie simplement leurs niveaux relatifs.

Le taux de Nyquist pour la dérivée est donc le même que celui du signal d'origine.

Prendre la dérivée multiplie la transformée par s, ce qui fait effectivement tourner le graphique de magnitude dans le sens antihoraire. Ainsi, il pourrait bien y avoir des composantes de fréquence plus élevée dans le dérivé. Une manière plus succincte de le dire est que la dérivation amplifie le contenu haute fréquence.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

Le dérivé dans ce cas a clairement des composantes de fréquence plus élevées. Peut-être plus correctement, il a des composants haute fréquence beaucoup plus importants que le non-dérivé. On pourrait choisir d'échantillonner le premier signal à 200 rads / s avec une certaine confiance, car l'énergie est très petite au taux de nyquist, mais le repliement serait substantiel si vous échantillonniez la dérivée au même taux.

Ainsi, cela dépend de la nature du signal. La dérivée d'une sinusoïde sera une sinusoïde de la même fréquence, mais la dérivée du bruit à bande limitée aura des composantes de fréquence plus élevées que le bruit.

EDIT: En réponse au vote négatif, je vais marteler cette maison avec un exemple concret. Permettez-moi de prendre une onde sinusoïdale et d'y ajouter du bruit normal aléatoire (un dixième de l'amplitude de l'onde sinusoïdale)

Le fft de ce signal est:

Maintenant, permettez-moi de prendre la dérivée du signal:

et le fft du dérivé

Le sous-échantillonnage alias, bien sûr, le signal ou le dérivé. Les effets du sous-échantillonnage seront modestes pour le signal, et le résultat du sous-échantillonnage de la dérivée sera absolument inutile.

Tu ne peux pas.

L'intégration ne vous informera que de l'évolution de la tension pendant le temps d'échantillonnage.

Cependant, le condensateur démarre toujours avec une certaine charge, il y aura donc une tension initiale. Votre calcul ne peut pas connaître cette tension, il ne peut donc pas connaître la tension réelle aux bornes du condensateur pendant votre temps de mesure. Cela devrait être familier dans les cours de mathématiques - vous intégrez toujours entre deux points.

Vous avez également un problème qui, bien que vos échantillons de mesure de courant soient limités à Nyquist, le courant réel à travers le condensateur peut ne pas l'être. À moins que vous ne puissiez garantir que le courant traversant le condensateur a un filtre passe-bas dur quelque part en dessous de la limite de Nyquist, vous ne pourrez jamais mesurer le courant avec suffisamment de précision pour reproduire la tension. Je dois être clair que cela est mathématiquement impossible, car cela nécessiterait un taux d'échantillonnage de l'infini.

Mais si vous connaissez la tension de démarrage et si le courant réel traversant le condensateur est convenablement filtré passe-bas, alors DaveTweed a raison de dire que la limite de Nyquist pour l'intégrale est la même que pour les données échantillonnées.